工繊大の塚本です.

In article <049e974e-8b23-4900-aeb3-688565edf183@q16g2000yqg.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <090322231819.M0127321@cs2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 他にはありません.

これは S_4 の Sylow 3-subgroup で A_4 の Sylow 3-subgroup
以外のものはない, と申し上げたわけです.
 Sylow 3-subgroups は互いに内部自己同型で移りあうわけですが,
 A_4 が正規部分群なので, A_4 の外には出て行きません.

ですから, 以下は混線していますが, A_4 以外に位数 12 の
 S_4 の部分群はないという話もありますので, 見ておきますと,
 
> これは他に位数12のGの正規部分群Hがあったとすると
> 第二同型定理「HはGの正規部分群で,∀K≦Gに対し,K/(K∩H)〜(KH)/H」より
> HA_4/H〜A_4/(A_4∩H)…【1】と書け,H≠A_4ならA_4H=S_4(∵??)で
> A_4/(A_4∩H)〜S_4/H〜C_2 (但し,C_2は位数2の剰余類)
> この時,Lagrangeの定理から【1】より#(A_4∩H)=[A_4:A_4∩H]÷#C_2=6と書け、
> A_4∩Hは第二同型定理からGの部分群でA_4∩H⊂A_4なので,A_4∩HはA_4の部分群。
> A_4は位数6の部分群は持たない(∵某命題)ので矛盾。

ここが面倒そうなので, 述べませんでした. まあ,
 elegant でなくて良いなら, 直ぐに示せます.

> よって,A_4以外に位数12のS_4の部分群は無い。
> 
> となるのですね。
> すいません。途中でH≠A_4ならA_4H=S_4となるのは何故なのでしょうか?

 π: S_4 → S_4/A_4 = Z_2 での H の像は, { 0 } になるか,
 { 0, 1 } になるかのどちらかで, 前者なら H = A_4, 後者なら
 A_4 H = S_4 です.

> ん? Sylow2-subgroupはA_4で考えたほうがいいという事でしょうか?
> #A_4=12=2^2・3なのでA_4のSylow2-subgroupは位数2^2(=4)…【2】の部分群ですよね。
> また,Sylowの定理からSylolw2-subgroupsの個数n_2はn_2=1+2k且つn_2|3なので
> k=0,1が考えられ,n_2=1かn_2=3…【3】であるが
> 【2】よりA_4のSylow2-subgroupはアーベル群のみ。
> よって位数4のアーベル群はZ_{2^2}とZ_2(+)Z_2があるので
> A_4のSylow2-subgroupなのでn_2=2…【4】となり,
> 【3】に反しますが何処か間違ってますでしょうか?

 A_4 の Sylow 2-subgroup として現れるのは Z_2(+)Z_2 の方だけです.
 Sylow p-group の位数は G の位数から定まりますが,
 Sylow p-group としてはその位数の任意の群が現れるわけでなく,
現れるものは内部自己同型で移りあうので, 必ず唯一種類です.

> 勿論,位数2のA_4の部分群も存在し(∵某命題),位数が素数なのでこれもアーベル。
> したがって,A_4の位数2のアーベル群はZ_2の一つのみ。

型としてはそれしかないですね. Z_2(+)Z_2 の中には
 Z_2 と同型な群が 3 つ入っています.

> うーん。これから位数2^3のS_4のSylow2-subgroupはどうすれば求まるのでしょうか?

二乗が A_4 の Sylow 2-subgroup に入るような元を付け加えて,
位数が 8 の subgroup が生成されるようにすれば良いわけです.
やってみると直ぐに 3 つ見つかります.
 
> > それは (1 2 3 4) を含むもの,
> > (1 3 4 2) を含むもの, (1 4 2 3) を含むもの, の
> > 3 つあります.
> 
> これらの位数はいずれも4ですよね。
> なので{ id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) }を付け足して
> 
> #<(1 2 3)>=#<(1 2 4)>=#<(1 3 4)>=#<(2 3 4)> =#<(1 3 2)>=#<(1 4 2)>=#<
> (1 4 3)>=#<(2 4 3)>=3…【7】
> で
> <(1 2 3)>={id,(1 2 3),(1 3 2)},<(1 2 4)>={id,(1 2 4),(1 4 2)},<(1 3 4)
> >={id,(1 3 4),(1 4 3)},<(2 3 4)>={id,(2 3 4),(2 4 3)}
> のいずれかと

 Sylow 3-subgroup は全く関係ありません.

> <(1 2 3 4)>={id,(1 2 3 4),(1 3)(2 4),(1 4 3 2)},
> <(1 3 4 2)>={id,(1 3 4 2),(1 4)(2 3),(1 2 4 3)},
> <(1 4 2 3)>={id,(1 4 2 3),(1 2)(3 4),(1 3 2 4)}
> のいずれかとを合体させれば位数8の部分群ができるかと思いまして,
> 手当たり次第に1つずつ元を採り,演算について閉じているか調べているのですが
> なかなか閉じてくれません。能率的な探し方ってあるのでしょうか?

え, { id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) } に (1 2 3 4) を
付け加えて, 積を取ってみれば,

  { id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3),
    (1 3), (2 4), (1 2 3 4), (1 4 3 2) }

で閉じていることが直ぐに分かる筈です. 同様にすれば, 3 つ
直ぐに出来ます. これ以外に Sylow 2-subgroup がないことも
位数 4 の元が 6 つしかないので, 明らかです.

> > それぞれの S_4 の Sylow 2-subgroup が
> > S_5 の Sylow 2-subgroup となります. 全部で 15 こですね.
> 
> うーんとこれはn_2=1+2k|15だらかn_2=1,3,5,15ですが
> どうして15と決定できるのでしょうか?

実際に異なるものが 15 こあるからです. S_4 の入り方が
違うとその Sylow 2-subgroups は同じ群にはなりませんね.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp