ご回答誠に有難うございます。

>> 複素多様体を定義するのに用いるのなら,
>> C^n(R^{2n}と同一視)でchartは定義されるのですね。
> 複素多様体を定義するときには,
> 複素構造が問題となるので,
> C^n を R^{2n} と同一視したのでは
> その部分が失われます.

すいません。"その部分"とは何の事なのでしょうか?

>> 素晴らしいです。分かりにくかったら,R^nバージョンと
>> C^nバージョンの二通りの定義を予め用意しておけばいいのですよね。
> どんな種類の多様体を定義したいかに依ります.

複素多様体ならC^nバージョンで,
位相多様体,C^α級可微分多様体ではR^nバージョンなのですね。

>> えっ。R^nとXはどうしても位相同形にはする事はできないのですね。
> 無論 R^n 自身も位相多様体ですから,
> X が R^n 自身であれば位相同型になりますが,
> そうでない場合が主として扱いたい対象です.

なるほど。一般にはR^nとXは位相同形にはならないのですね。

>> 誠に申し訳ありません。何処が全く違うのでしょうか?
> 貴方は chart を正しく理解していない.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_chart__02.jpg
と訂正致しました。これなら如何でしょうか?

>> [定義キ]
>> 「(X,T)を位相空間とする時,∀(U,V)∈T×T_{R^n}
>>  (但し,T_{R^n}はR^nの通常の位相)に対して,
>> Home(U,V)∋fが存在する(∵要証)。
>> この時,このfをUからVへのchartと呼ぶ」
>> なら如何でしょうか?
> X の勝手な開集合 U と
> R^n の勝手な開集合 V との間には
> 位相同型が存在するとは限りません.

ここがミソだったのですね。

> むしろ, 位相同型になる開集合というのはとても特別な場合です.
> 位相同型となる X の開集合 U と R^n の開集合 V と,
> その位相同型を与える U から V への写像 f とを
> 組にしたもの (U, V, f: U \to V) が chart です.

なるほど納得です。

>> [定義イ]
>> 「XをTを位相とする位相空間とし,
>> Λを添数集合,Map(U_λ,V_λ)をU_λ∈TからT_{R^n}への写像の集合とし,
>> {Map(U_λ,V_λ);λ∈Λ}をその族とする時,
>> その族がX上の{U_λ;λ∈Λ}に於けるatlasであるとは,
>> (i) 集合{U_λ;λ∈Λ}がXの開被覆である,
>> (ii) 任意のλ∈Λに対して,U_λからV_λへのchart f_λが存在する,
>> ことであると定義する」
>> とすればいいのでしょうか?
> やはり chart の理解が間違っていますから,
> 駄目です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_chart__02.jpg
のchartの理解ならば[定義イ]は正しいのですね。

>> 有難うございます。ここではC^nではなくR^nと書き換えてもいいのですね。
> 位相多様体の次元は R^n で考えたときの n です.

了解です。複素多様体を考える時のみ位相多様体はC^nで考えいいのですね。

>> [定義エ]
>> 「C^nを位相空間とし,U,V∈T(但し,TはC^nの通常の位相とする)とする時,
>> UからVへの同相写像φがUのbiholomorphismであるとは,
>> φもφ^-1も正則関数。 である事と定義する」
>> で宜しいでしょうか?
> それは良いでしょう.

有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_complex_manifold__01.jpg
>> でいいのですね。
> chart の理解が出鱈目だから駄目です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_chart__02.jpg
のchartの理解ならばは正しいのですね。

>>> 「族 { Map(U_\lambda, C^n) ; \lambda \in \Lambda } に関して」
>>> C^\alpha (級)多様体, という言い方はありません.
>> "C^α級微分可能多様体"と言うのですね。
> そうではなく,
> 「族 { Map(U_\lambda, C^n) ; \lambda \in \Lambda } に関して」
> などという記述が駄目だといっているのです.

あっ分かりました。 「atlas { Map(U_\lambda, C^n) ; \lambda \in \Lambda } に関して」
ならいいのですね。