ご回答誠に有難うございます。

>> は"n次元C^α級微分多様体"と詳しくは呼ぶのですよね。
> 普通「可微分多様体」という訳語が使われます.
> 「微分可能多様体」でも可.

有難うございます。了解です。

> 位相多様体やら C^\infty 多様体を定義するのに
> 用いるなら R^n の開集合との同相写像から
> chart の定義は始めるものでしょう.

複素多様体を定義するのに用いるのなら,C^n(R^{2n}と同一視)でchartは定義されるのですね。

>> C^nでは定義できないのでしょうか?
> C^n は R^{2n} と同一視すれば良い.

素晴らしいです。分かりにくかったら,R^nバージョンとC^nバージョンの二通りの定義を予め用意しておけばいいのですよね。

>> あと,
>> [定義キ]　(X,T)を位相空間とする時,∀(f,D)∈Home(X,R^n)×Tに対して,
>> Home(D,f(D))∋φが一意的に存在する(∵要証)。
>> この時,このφをDからf(D)へのchartと呼ぶ」
>> という定義でも大丈夫でしょうか?
> おや, 貴方は
>> Home(X,Y)でXからYへのhomeomorphism全体の集合を意味してました。
> としたのですから, "(f, D) \in Home(X, R^n) \times T" とすると,
> f は X と R^n との間の位相同相を与えることになります.
> 今, R^n とは位相的にも全く違ったもの X を多様体として考えようと
> しているのですから, そんな f は普通存在しません.

えっ。R^nとXはどうしても位相同形にはする事はできないのですね。

> 無論, それでは chart の定義として意味を為しません.

そうでしたか。

> [定義イ] について,
>> これで一応は間違いではないのですよね。
> とんでもない.

これは失礼致しました。

>>> atlas とは charts の集まりで,
>>> X の開被覆となるものです.
> ということと, 貴方の定義とは全く違います.

誠に申し訳ありません。何処が全く違うのでしょうか?

>> chartはようは写像なので,結局はatlasは写像の集まりなのですね。
> X の開集合と R^n の開集合との同相写像が chart です.

有難うございます。
[定義キ]
「(X,T)を位相空間とする時,∀(U,V)∈T×T_{R^n} (但し,T_{R^n}はR^nの通常の位相)に対して,
Home(U,V)∋fが存在する(∵要証)。
この時,このfをUからVへのchartと呼ぶ」
なら如何でしょうか?

> altas は chart の集まりです.
> 写像にはその定義域と値域とが結びついていて,
> 更に, 同相写像であるものを考えている, ということを
> 省いてはいけません.

[定義イ]
「XをTを位相とする位相空間とし,
Λを添数集合,Map(U_λ,V_λ)をU_λ∈TからT_{R^n}への写像の集合とし,
{Map(U_λ,V_λ);λ∈Λ}をその族とする時,その族がX上の{U_λ;λ∈Λ}に於けるatlasであるとは,
(i) 集合{U_λ;λ∈Λ}がXの開被覆である,
(ii) 任意のλ∈Λに対して,U_λからV_λへのchart f_λが存在する,
ことであると定義する」
とすればいいのでしょうか?

>> Hausdorff空間である事が必須なのですね。
>> "n次元位相多様体"と呼んでもいいのですね。
> はい.

有難うございます。ここではC^nではなくR^nと書き換えてもいいのですね。

> [定義エ] について,
>> この定義はOKですね。
> 普通, C^n の開集合 U と C^n との biholomorphism ではなく,
> C^n の開集合 U, V の間の biholomorphism を定義しておく
> ものでしょう.

[定義エ]
「C^nを位相空間とし,U,V∈T(但し,TはC^nの通常の位相とする)とする時,
UからVへの同相写像φがUのbiholomorphismであるとは,
φもφ^-1も正則関数。 である事と定義する」

で宜しいでしょうか?

>> つまり,n次元複素多様体とは
>> 「X の atlas { \phi_\lambda: U_\lambda \to V_\lambda }_{\lambda \in
>> \Lambda}
>> ・・u刋タ償任意の \lambda, \mu \in \Lambda で U_\lambda \cap U_\mu が空集合でない
>> ものに対し,
>> \phi_\lambda \circ (\phi_\mu)^{-1}:
>> \phi_\mu(U_\lambda \cap U_\mu) \to \phi_\lambda(U_\lambda \cap U_\mu)
>> が biholomorphic となるものが存在するとき,」
>> なるatlasから成るn次元位相多様体の事であるとも言えるのですね。
> biholomorphism は homeomorphism でもあるので,
> (この定義での)複素多様体であれば位相多様体にもなっています.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_complex_manifold__01.jpg
でいいのですね。

>> [定義カ]
>> 「XをTを位相空間,n∈N,α∈[0,∞],Λを添数集合とし,
>> Map(U_λ,C^n)をU_λ∈TからC^nへの写像の集合とし,
>> この時,Xが族{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}に関してC^α級多様体をなすとは,
> 「族 { Map(U_\lambda, C^n) ; \lambda \in \Lambda } に関して」
> C^\alpha (級)多様体, という言い方はありません.

"C^α級微分可能多様体"と言うのですね。

>> {U_λ;λ∈Λ}と(f_λ)_{λ∈Λ}からなり下記を満たすatlas
>> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}が存在する事を言う。
> altas は charts の集まりでないといけません.

了解です。

>> 任意の(U_α,U_β)∈{(U_α,U_β)∈{U_λ∈T;λ∈Λ}^2;U_α∩U_β≠φ}に対して,
>> ∃f_αはU_α上のchart且つ∃f_βはU_β上のchart
>> 且つMap(f_β(U_α∩U_β),f_α(U_α∩U_β))∋f_αf_β^-1はC^α級」
>> で宜しいでしょうか?
> 駄目です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_C_alpha_class_differntiable_manifold__00.jpg
てなら宜しいですよね。