ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_manifold__00.jpg
>> は位相多様体ではなく,多様体の定義です。
> だから, 何でもない「多様体」などはありません.

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/kiso/04-mfd.pdf
の2ページ目での多様体の定義で多様体の定義に次に改めて位相多様体の定義が記載されているのですが(名古屋大の方らしいですが)。
なかなか書籍を当たって見たのですが単に多様体と言ったら位相多様体の事だという記述が見つけられませんで, ついググってしまいました。

あと,「多様体の基礎/松本幸夫著」では
http://www.geocities.jp/sayori_765195/tayoutaino_kiso_p01.jpg
何でもない「多様体」の定義が載っておりまして,
http://www.geocities.jp/sayori_765195/tayoutaino_kiso_p37.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/tayoutaino_kiso_p39.jpg
では位相多様体の定義が載っておりました。

>> 位相空間Xとatlas Aが与えられて,初めてXをAに関しての多様体と呼ぶのです。
> 勘違いです.

それでは正しい定義をご教示いただけませんでしょうか? m(_ _)m
お手数お掛けしまして誠に申し訳ありません。

>> 位相多様体の定義は多様体の定義に更に条件が加わって
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_topological_manifold__00.jpg
>> でございます。
> 「位相多様体」の定義にどうして C^1 級写像が出て来るのです.

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/kiso/04-mfd.pdf
の定義はやはり間違ってますでしょうか?

でも
http://www.geocities.jp/sayori_765195/tayoutaino_kiso_p37.jpg
では位相多様体にC^1級写像は全く無関係でもなさそうかなとも思いましたが
位相多様体の定義にはC^1級写像は不要そうですね。

>> はい。多様体で調べてみましたら
>> どの書も位相多様体の定義が書かれてありましたので
> それは「位相多様体」の定義として書かれていたでしょう.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/tayoutaino_kiso_p01.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/tayoutaino_kiso_p37.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/tayoutaino_kiso_p39.jpg
を拝見する限り,
http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_manifold__01.jpg
が多様体の定義で、位相多様体の定義は
『多様体Xが{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}に於いて位相多様体をなす。
⇔(def) XはHausdorff空間』
とも解釈したのですが如何でしょうか?

>> 一般の多様体とは位相多様体の事だったのですね。
> だから, そういう意味での「一般の多様体」などというものは
> ありません.

そうしますと
http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_manifold__01.jpg
はやはりインチキしておるのですね。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_manifold__00.jpg
>> で何処かおかしい所がございましたでしょうか?
> ですから, 文章として成り立っていません.
> 無理解を隠すために, 「それらしい」ような記号を使うのは
> 間違っています. 先ず最初は記号を使わずに文章として
> 定義を書いて御覧なさい.

えっ!? 記号を使ってはいけないのですか。ちょちょっとお時間を下さいませ。