Chikakoと申します。
たいへんありがとうございます。


>> I×Iの順序位相はT:={U∈2^(I×I);(x,y)∈U⇒U∈N(x,y)}…②となるのですね。
> そうです.

ありがとうございます。


>> Gは
>> http://beauty.geocities.jp/noname45754/dictonary.jpg
>> のような形をしていると思います。
> 結構です.

よってGの採り方を考察すれば宜しいのですね。

ではGにAの点を含ませると必ずA^cの点も含んでしまうのでA⊂cls(A).
また点(0,1)もGをどんなに縮めてもAの点を必ず含んでしまうので(0,1)∈cls(A)なのですね。


>> なので先ずAについてですが
>> 点(1/n,0)に対してこの点を含むような集合S:={(x,y)∈I×I;
>> ((1/n+1/(n+1))/2,0)<'y<'((1/n/(n-1))/2,0)}を採ると
> S の定義がよく分かりませんが,

S:={(x,y)∈I×I;((1/n+1/(n+1))/2,0)<'x<'((1/n/(n-1))/2,0)}と書きたかったのでした。すいま
せん。
これは隣点との中点を通る2本の縦線でAの元(1/n,0)を挟み込める集合という意味です。
Gを表現したかったのでした。


> = {0}×[0, 1) の中の点ですから, A の外点ですよ.

そうでした。(0,0)はAの点を含むようなGが採れませんものね。


> 全て違います. cls(E) については単なる誤記かも
> 知れませんが, もう一度良く考えて見て下さい.

Aについては
http://beauty.geocities.jp/noname45754/topology/A.jpg
となりGにAの点を含まると必ずA^cの点も含んでしまうのでA⊂BdAでまた
点(0,1)もどんなに縮めてもAの点を含んでしまうので(0,1)⊂BdA
したがってcls(A)=A∪{(0,1)}ですね。

Bについては
http://beauty.geocities.jp/noname45754/topology/B.jpg
となり,cls(B)=B

Cについては
http://beauty.geocities.jp/noname45754/topology/C.jpg
となり,Aの時と同様に点(0,1)や(1,0)をGに含ませるとそのGはAの点も含んでしまう。
よって(0,1),(1,0)∈BdC更に{(x,1)∈R^2;0≦x<1}についても同様のことが言え,
cls(C)=C∪{(1,0)}∪{(x,1)∈R^2;0≦x<1}.

Dについては
http://beauty.geocities.jp/noname45754/topology/D.jpg
となり,cls(D)=D∪{(x,1)∈R^2;0≦x<1}∪{(x,0)∈R^2;0<x≦1}.

Eについては
http://beauty.geocities.jp/noname45754/topology/E.jpg
となり,IntE=E, BdE={(1/2,0),(1/2,1)}なので
cls(E)=E∪{(1/2,0),(1/2,1)}

となるのですね。