工繊大の塚本です.

集合に位相を入れるとは, その部分集合のうちどれが
開集合であるかを定めること, と理解するのが分かり
やすい, と思いますが, 位相の入れ方には他にも色々
流儀があります. 結局は同じことになるわけですが.

In article <045ebe60-342f-4ced-bed1-917efd39ceee@r15g2000prd.googlegroups.com>
cchikakoo <cchikakoo@yahoo.co.jp> writes:
> 
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
> 
> を拝見しましたら
> 
> 順序位相の定義は「(A,≦')を全順序集合とする。
> O:={{y∈A;y<'a}∈2^A;a∈A}∪{{y∈A;y>'a}∈2^A;a∈A}
>     ∪{{y∈A;a<'y<'b}∈2^A;a,b∈A}∪{A}
> と置いた時,
> x∈Aに対してN(x):={U∈2^A;∀x∈A,∃I∈O such that x∈I⊂U}を
> xによるAの順序位相と呼ぶ」

最後の二行は

! x ∈ A に対して N(x) := { U∈2^A ;∃I ∈ O such that x ∈ I ⊂ U } を
! x の近傍の全体とする. それにより定まる位相を A の順序位相と呼ぶ」

としなければなりません.

# ウィキペディアでは「基本近傍系」としていますが,
# この場合は近傍全体がそれで定まっています.

ここでは集合の各点 x の近傍の全体 N(x) を指定する
ことにより位相を定める流儀を取っているのです. この
場合, A の 部分集合 U が開集合であるとは, U の各点
 x の近傍に U がなっていること, つまり,

  x ∈ U ならば U ∈ N(x)

が成り立つこと, ということになります.

任意個数の O の元の合併集合が開集合である, という
記述の方が分かり易いかも知れません.

# 英語版のウィキペディアはそういう記述になっています.

> どのようにして(α,β)を決定すればいいのでしょうか?

誤解は解消致しましたでしょうか.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp