辞書式

よろしくお願い致します。

Let I=[0,1]. The dictionary order on I×I is just the restriction to
I×I of the dictionary order on the plane R×R.However,the dictionar
order topology on I×I is not the same as the subspae topology on I×I
obtained from the dictionary order topology on R×R! For example, the
set {1/2}×(1/2,1] is open in I×I in the subspace toplogy,but not in
the order topology.
Then set I×I in the dictionary order topology will be called the
ordered square,and denoted by I^2_o.
[Q] Determine the closures of the following subsets of the ordered
sqare:
A={(1/n)×0;n∈Z_+}
B={(1-1/n)×1/2;n∈Z_+}
C={x×0;0<x<1}
D={x×1/2;0<x<1}
E={1/2×y;0<y<1}

「I=[0,1]とせよ。I×I上の辞書式順序とはまさにR×R平面での辞書式順序のI×Iへの制限である。しかしながらI×I上の辞書式順序位相は
R×R上の辞書式順序位相からのI×I上の部分位相と同じではない! 例えば集合{1/2}×(1/2,1]は部分位相内のI×I内でopenであるが
順序位相ではない。
それで辞書式順序位相内での集合I×Iはordered squareと呼ばれ,I^2_oと書かれるだろう
[Q] 次のordered squareの部分集合の閉包を求めよ」

という問題です。これ以外に辞書式順序位相の説明は記載されてませんでした。

順序位相の定義は「(A,≦')を全順序集合とする。a∈Aに対して,{U∈2^A;∃I∈2^A such thata∈I⊂U}がAの位相となる
時,
{U∈2^A;∃I∈2^A such thata∈I⊂U}をA上の順序位相という」

です。

辞書式順序位相の定義が分かりません。
辞書式順序の定義をご教示下さい。

それとA={(1/n)×0;n∈Z_+}の「×」は直積の意味なのでしょうか?