Chikakoと申します。大変ありがとうございます。


>> これは O:={{y∈A;y<'a}∈2^A;a∈A}∪{{y∈A;y>'a}∈2^A;a∈A}
>   ∪{{y∈A;a<'y<'b}∈2^A;a,b∈A}∪{A}
>> ですね。

まとめて書けばこのようになるのですね。


> <' は A に入っている全順序に関する等号を含まない不等号
> ということですか.

はい、その通りです。


>  (a, b) <' (c, d)
> となるのが
>  a < c, 又は, ( a = c かつ b < d )  # ここの < は実数の大小関係
> の時とするのが辞書式順序です.

納得です。ありがとうございます。


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88

を拝見しましたら

順序位相の定義は「(A,≦')を全順序集合とする。
O:={{y∈A;y<'a}∈2^A;a∈A}∪{{y∈A;y>'a}∈2^A;a∈A}∪{{y∈A;a<'y<'b}∈2^A;a,b∈A}∪{A}
と置いた時,
x∈Aに対してN(x):={U∈2^A;∀x∈A,∃I∈O such that x∈I⊂U}をxによるAの順序位相と呼ぶ」

「Aが直積集合で順序≦'を辞書的に定めた時,(A,≦')を辞書式全順序集合呼ぶ」

AをI×Iで書き直せば
「(I×I,≦')を辞書式全順序集合とする。
O:={{(x,y)∈I×I;(x,y)<'(a,b)}∈2^(I×I);a,b∈I}∪{{(x,y)∈I×I;
(x,y)>'(a,b)}∈2^(I×I);a,b∈I}∪{{(x,y)∈I×I;
(a,b)<'y<'(c,d)}∈2^(I×I);a,b,c,d∈I}∪{I×I}と置いた時,
(α,β∈I×Iに対してN((α,β)):={U∈2^(I×I);∃I∈O such that (α,β)∈I×I⊂U}を(α,β)による
I×Iの辞書式順序位相と呼ぶ」

「特にI×Iのような矩形の集合が順序位相を持つ場合にそのI×Iをordered squareと呼びI_o^2と表記する」
(α,β)はどこに行ったのでしょうか?

(α,β)を使って
「特にI×Iのような矩形の集合が順序位相N((α,β))を持つ場合にそのI×Iを(α,β)によるordered squareと呼び
I_o^2(α,β)と表記する」
と書いた方がいいのでしょうか?

取り合えず辞書式順序位相N((α,β))での
A={(1/n)×0;n∈Z_+}の閉包を見つけてみましょう,,,,
、、ん? 先ず辞書式順序位相は順序位相だから(α,β)なるものが必要なのですよね。
どのようにして(α,β)を決定すればいいのでしょうか?