ご回答まことにありがとうございます。


> 集合に位相を入れるとは, その部分集合のうちどれが
> 開集合であるかを定めること, と理解するのが分かり
> やすい, と思いますが,

そうですね。そのように解釈したいと思います。

> 最後の二行は
> ! x ∈ A に対して N(x) := { U∈2^A ;∃I ∈ O such that x ∈ I ⊂ U } を
> ! x の近傍の全体とする. それにより定まる位相を A の順序位相と呼ぶ」

!は任意という意味ですね。
N(x)は任意のx∈Aに対して定義されてたのですね。
で結局,{N(x)∈2^(2^A);x∈A}がAの順序位相となるのでしょうか?
これだとおかしいですよね。この位相は集合Aの冪の冪の冪の部分集合になってますよね。

> ここでは集合の各点 x の近傍の全体 N(x) を指定する
> ことにより位相を定める流儀を取っているのです. この
> 場合, A の 部分集合 U が開集合であるとは, U の各点
> x の近傍に U がなっていること, つまり,
>  x ∈ U ならば U ∈ N(x)
> が成り立つこと, ということになります.

ん?　そうしますとAの順序位相は{U∈2^A;x∈U⇒U∈N(x)}ですね。これなら辻褄が合いますね。


>> どのようにして(α,β)を決定すればいいのでしょうか?
> 誤解は解消致しましたでしょうか.

よってI×Iの場合で書き直すと
O:={{(x,y)∈I×I;(x,y)<'(a,b)}∈2^(I×I);(a,b)∈I×I}∪{{(x,y)∈I×I;
(x,y)>'(a,b)}∈2^(I×I);(a,b)∈I×I}
∪{{(x,y)∈I×I;(a,b)<'y<'(c,d)}∈2^(I×I);(a,b),(c,d)∈I×I}∪{I×I}
 ∀(x,y)∈I×I(Aは全順序集合)に対してN(x,y):={U∈2^(I×I) ;∃G∈O such that (x,y)∈G⊂U}…①
とすると
I×Iの順序位相はT:={U∈2^(I×I);(x,y)∈U⇒U∈N(x,y)}…②となるのですね。
特に順序<'として辞書式順序を採用した場合に位相空間(I×I,T)をI_o^2と表記し,order squareと呼ぶのですね。
それで早速
A={(1/n,0);n∈Z_+}
B={(1-1/n,1/2);n∈Z_+}
C={(x,0);0<x<1}
D={(x,1/2);0<x<1}
E={(1/2,y);0<y<1}
の閉包を求めてみます。
Gは
http://beauty.geocities.jp/noname45754/dictonary.jpg
のような形をしていると思います。なので先ずAについてですが
点(1/n,0)に対してこの点を含むような集合S:={(x,y)∈I×I;((1/n+1/(n+1))/2,0)<'y<'((1/n/
(n-1))/2,0)}を採ると
このSは①のGとUにもなっていて,結果として②は
{S∈2^(I×I);(x,y)∈S⇒S∈N(x,y)}と書けるので点(1/n,0)はAの境界点になると思います。
そしてI×I＼A＼{(0,0),(1,1)}の点はAの点含まずGをいくらでも小さく採れるので
I×I＼A＼{(0,0),(1,1)}の内点になっています。
したがってAの閉包cls(A)=A∪{(0,0)}

同様にして
cls(B)=B∪{(1,1/2)}
cls(C)=C∪{(0,0),(1,0)}
cls(D)=D∪{(0,1/2),(1,1/2)}
cls(E)=E∪{(1/2,0),(1,1/2)}

となったのですがこれで正しいでしょうか?