工繊大の塚本です.

In article <9a4e00e2-3830-405b-8714-3abdbbaca53d@l33g2000pri.googlegroups.com>
cchikakoo <cchikakoo@yahoo.co.jp> writes:
> !は任意という意味ですね。

あ, これは "> " で始まっているところを "! " で
始まるもので取り替えて下さい, というだけのつもり
でしたが,

> N(x)は任意のx∈Aに対して定義されてたのですね。

これはその通りです.

> で結局,{N(x)∈2^(2^A);x∈A}がAの順序位相となるのでしょうか?
> これだとおかしいですよね。この位相は集合Aの冪の冪の冪の
> 部分集合になってますよね。

ですから流儀が違うので, 「位相」(開集合の全体) では
ありません.

> > ここでは集合の各点 x の近傍の全体 N(x) を指定する
> > ことにより位相を定める流儀を取っているのです. この
> > 場合, A の 部分集合 U が開集合であるとは, U の各点
> > x の近傍に U がなっていること, つまり,
> >  x ∈ U ならば U ∈ N(x)
> > が成り立つこと, ということになります.
> 
> ん?　そうしますとAの順序位相は{U∈2^A;x∈U⇒U∈N(x)}ですね。
> これなら辻褄が合いますね。

開集合の全体はそうなります.

> よってI×Iの場合で書き直すと
> O:={{(x,y)∈I×I;(x,y)<'(a,b)}∈2^(I×I);(a,b)∈I×I}∪{{(x,y)∈I×I;
> (x,y)>'(a,b)}∈2^(I×I);(a,b)∈I×I}
> ∪{{(x,y)∈I×I;(a,b)<'y<'(c,d)}∈2^(I×I);(a,b),(c,d)∈I×I}∪{I×I}
>  ∀(x,y)∈I×I(Aは全順序集合)に対して
> N(x,y):={U∈2^(I×I) ;∃G∈O such that (x,y)∈G⊂U}…①
> とすると
> I×Iの順序位相はT:={U∈2^(I×I);(x,y)∈U⇒U∈N(x,y)}…②となるのですね。

そうです.

> 特に順序<'として辞書式順序を採用した場合に位相空間(I×I,T)をI_o^2と表記し,
> order squareと呼ぶのですね。
> それで早速
> A={(1/n,0);n∈Z_+}
> B={(1-1/n,1/2);n∈Z_+}
> C={(x,0);0<x<1}
> D={(x,1/2);0<x<1}
> E={(1/2,y);0<y<1}
> の閉包を求めてみます。
> Gは
> http://beauty.geocities.jp/noname45754/dictonary.jpg
> のような形をしていると思います。

結構です.

> なので先ずAについてですが
> 点(1/n,0)に対してこの点を含むような集合S:={(x,y)∈I×I;
> ((1/n+1/(n+1))/2,0)<'y<'((1/n/(n-1))/2,0)}を採ると

 S の定義がよく分かりませんが,

> このSは①のGとUにもなっていて,結果として②は
> {S∈2^(I×I);(x,y)∈S⇒S∈N(x,y)}と書けるので
> 点(1/n,0)はAの境界点になると思います。

開区間 ((1/(n+1), 0), (1/n, 0))  (n ∈ Z_+) 達と
「無限の」開区間 (open ray)  ((1, 0), +∞)
 = { (a, b) ∈ I×I ; (1, 0) <' (a, b) }
 = { (a, b) ∈ I×I ; a = 1, 0 < b }
 = {1}×(0, 1] の和は A と交わりを持たない開集合
で, A と合わせると (0, 1]×I になっていますから,
そのことは正しい.

> そしてI×I＼A＼{(0,0),(1,1)}の点はAの点含まずGをいくらでも小さく採れるので
> I×I＼A＼{(0,0),(1,1)}の内点になっています。

ん, 意味不明です.

> したがってAの閉包cls(A)=A∪{(0,0)}

 (0, 0) は, A と交わりを持たない開集合 (-∞, (0, 1))
 = { (a, b) ∈ I×I ; (a, b) <' (0, 1) }
 = { (a, b) ∈ I×I ; a = 0, b < 1 }
 = {0}×[0, 1) の中の点ですから, A の外点ですよ.

 ((1/(n+1), 0), (1/n, 0))  (n ∈ Z_+), ((1, 0), +∞),
 (-∞, (0, 1)) に属する点は全て A の外点です. ですから,
問題は (0, 1) が A の閉包に入るかどうか, なのです.

> 同様にして
> cls(B)=B∪{(1,1/2)}
> cls(C)=C∪{(0,0),(1,0)}
> cls(D)=D∪{(0,1/2),(1,1/2)}
> cls(E)=E∪{(1/2,0),(1,1/2)}
> 
> となったのですがこれで正しいでしょうか?

全て違います. cls(E) については単なる誤記かも
知れませんが, もう一度良く考えて見て下さい.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp