KNC> > 「 y＝f(x)
KNC> >  Δy＝A・Δx＋ε・Δx （A は Δx に無関係。Δx→0 のとき，ε→0。
KNC> >  ）が成り立つとき，
KNC> >   f'(x):＝A，dy:＝f'(x)Δx」
KNC> >
KNC> > とすれば「再建」できそうですよね(^0^)。
KNC> 
KNC> 一体，何が「再建」されるのかよく分からないですが，
KNC> （一階微分の話それとも高微分の話？）

高階の微分まできちんと定式化できますよね。

KNC> Δy＝A・Δx＋ε・Δx 　が成り立つとき
KNC> から，f''(x)はどう定義するのでしょうか

まじめにいきます(..)。

二階の微分（同時に二階の導関数）の定義は，細かく書くと，

「y＝f(x)のとき，
  
  Δ(Δy)＝ B・(Δx)^2 ＋ ξ・(Δx)^2   ………(1) 
  （B は Δx に無関係。Δx→0のとき，ξ→0。） 
  が成り立つとき
  
  B:＝f''(x)，d^2 y:＝f''(x)・(Δx)^2(＝f''(x)・dx^2)」

となると思います。


f''(x)＝{f'(x)}' は，まず，一階の微分の定義より

   Δ(Δy)＝Δ(f'(x)・Δx＋ε・Δx) 
          ＝{f'(x＋Δx)・Δx＋ε・Δx}−{f'(x)・Δx＋ε・Δx}
          ＝{f'(x＋Δx)−f'(x)}・Δx
          ＝Δ(f'(x))・Δx

 (1) とf''(x):＝B より 

   Δ(f'(x))・Δx＝f''(x)・(Δx)^2 ＋ ξ・(Δx)^2

 両辺 Δx で割って

   Δ(f'(x))＝f''(x)・Δx ＋ ξ・Δx

 よって

   {f'(x)}'＝f''(x)
  
と示すことができます。


KNC> M_SHIRAISHIさんとY.Nさんの議論は，色々と変化するのでどうもよく分か
KNC> らないというか。

ふざけてたかもしれません，すみませんm(_ _)m。

KNC> まあ，かなり高度な話なんで，

低レベルでしたm(_ _)m。

高階の微分（および高階の導関数）の定義は

「y＝f(x)のとき，
  
  Δ^n y＝ A・(Δx)^n ＋ ε・(Δx)^n 
  （A は Δx に無関係。Δx→0のとき，ε→0。） 
  が成り立つとき
  
  A:＝f^(n)(x)，d^n y:＝f^(n)(x)・(Δx)^n(＝f^(n)(x)・dx^n)」

なんでしょうね。