まじめにします。すみません。

Δy=f(x+Δx)-f(x)

ですよね。

Δx=(x+Δx)-x

ですよね（ここで x_1=x+Δx とされても別にかまいません）。

g(x)=Δx とおくとε=0 とすれば

Δ(Δx)=g(x+Δx)-g(x)={{(x+Δx)+Δx}-(x+Δx)}-{(x+Δx)-x}=0・Δx + ε・Δx

で「 0 は Δxに関係しない。Δx→0 のとき ε→0」

よって (Δx)'=0 

ですよね。

でも

M> Δx＝x_1−x なのだから、Δx を x に関して微分すれば、(Δx)'＝(x_1−x)'＝-1 です。

したがって

-1=0

この矛盾の原因はなんですか？

まだ dy=f'(x)・Δxを使ってないのですが。