"Y.N." <yoshiro@mail.wind.ne.jp> wrote in message news:<c7l8br$kep$2@nr1.vectant.ne.jp>...
> > Δ(Δx)=g(x+Δx)-g(x)={{(x+Δx)+Δx}-(x+Δx)}-{(x+Δx)-x}=0・Δx + ε・Δx
> 
> の
> 
> g(x)=(x+Δx)-x
> 
> としたときの
> 
> g(x+Δx)={(x+Δx)+Δx}-(x+Δx)
> 
> が「微分の本質」とおっしゃるものにかかわるんでしょうか？(‥)


△x --- 即ち、x の増分 --- は、無限小ではないんだし、「微分の本質」とは
何ら関係ないですね。 


以下の (i)，(ii) の理由で、△は ≪線型作用素(linear operator)≫ と考える
ことができる：−

(i) △{g(x)＋h(x)}＝{g(x＋△x)−g(x)}＋{h(x＋△x)−h(x)}
                  ＝△g(x)＋△h(x)

(ii) k を任意の実数の定数とするとき、△{kg(x)}＝kg(x＋△x)−kg(x)
                                            ＝k{g(x＋△x)−g(x)}
                                            ＝k△{g(x)}


従って、△(x＋△x)−△x ＝ {△x＋△(△x)}−△x ＝ △(△x)

しかるに、△(△x)＝△(x_1−x)＝{x_1−(x＋△x)}−{x_1−x}＝−△x

∴ △(x＋△x)−△x ＝ −△x

∴ (△x)'＝lim{△x→0}[{△(x＋△x)−△x}／△x]＝lim{△x→0}[−△x／△x]＝−1