I wrote:
>>一方、f'(x) をすっ飛ばして定義してしまう、それこそ：
>>　　f''(x) = lim Δ^2 f /(Δx)^2
>>としてしまえば、例えば：
>>　　f(x) = 1/n^3 (x=1/n)、0（それ以外）
>>とでもすれば、f(x) は x=1/n では不連続で微分不能だけど、
>>上の意味での f''(0) は存在しますね。
> 
> うーん。失礼。これはやはり取消し。
> そのような定義というのはやはりしないものでしょう。
> すみません。

自分の間違いをネタにするのもなんですが、これがいみじくも Y.N. さんの
「Δ^n f ～ f^(n)(x)・(Δx)^n による d^n f = f^(n)(x) dx^n の定義」
への回答にもなっています。

つまり
　　f^(n)(x) = {f^(n-1)(x)}'
という意味での高階導関数に対し、
　　lim Δ^n f/(Δx)^n
は、「もし f^(n)(x) が存在すれば」収束してそれと一致しますが、
f^(n)(x) が存在しない場合でも収束することがあります。
上が具体例です。

# ミスをしておいて人のことを言えた義理ではありませんが、
# Y.N. さんももう少し考えをまとめてから投稿していただいたほうが助かります。

（平賀）