ご回答誠に有難うございます。遅くなりまりして申し訳ありません。


>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_tetration__00.jpg
>> が超ベキのtetrationとpetrationの定義なのですね。
> そういうものを「超ベキ」と呼ぶ場合もあるのでしょうが,
> ここで話題にしている「超ベキ」とは違います.

そうでしたか。

>> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%B3
>> を参考にいたしました。
> ウィキペディアを参考にするなら「超実数」のところです.

有難うございます。

>> ZFC公理系とこの超ベキからどのようにして超実数が構成できるのでしょうか?
>
> <http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0>
> の「超冪による構成」のところです.
> 「テトレーション」が無関係であることが分かるでしょう.
>
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_formula__00.jpg
>> と訂正させていただきました。
>
> こういう議論をするときには,
> 「式」というのはどのような記号列のことをいうのか,
> という形式的な部分と,

p8に
『n個の実数の組…はf(τ_1,τ_2,…,_τ_n)はである』
の下りを読みますと,結局はT_1,T_2_T_3は皆,n変数実関数Map(R^n,R)の元である事は明らかでこれらを有限回施して(使用して)できたn変数実関数(これも結局はMap(R^n,R)の元と看做せるので)の事を項(term)と呼ぶのだと思いました。

> その「式」はどのような実数の組について成立するのか

有限回のn変数実関数Map(R^n,R)の元を(不)等号"≦,<,=,≠"のいずれかの両端に置いたものを"式"と呼ぶのですから,
例えば,f(x_1,x_2,…,x_n)≦g(x_1,x_2,…,x_n)と書かれた場合,n変数は写像f,gの定義域の共通部分dom(f)∩dom(g)にて定義されるものでなければなりません。

> という意味的な部分とが
> 区別されるように話ができていないといけません.
> 勿論, 形式的な部分は意味的な部分が出て来るように
> 定義しておくわけですが.

はい。

> 貴方の読んでいる本の 8 page でも, 先ず,
> ある記号列が「項(term)」であるとはどういうことか,
> が定義され,
> 「式(formula)」というのは「項(term)」の間の関係式, 即ち,
> 「方程式」か「不等式」として書ける記号列だけを言う,
> と定義されています.
> 「式」の定義はこのように記号列の形式から「式」であるかどうかが
> 判定できるものでなければなりません.

では私の式の定義だと式と判定不能に陥ってしまうケースとしてどのようなものが挙げられるのでしょうか?

> その上で「式」或いは「式系」の「解」の概念が定まるという形で
> その「式」「式系」の意味が定まることになるのです.
> 貴方の「定義」は,
> どうにも意味が取れない書き方ですから困りますが,

誠に申し訳ありません。何とか改善していきたいと思いますす。

> どうやら意味の部分にしか注目していないという点で
> 採用できないものです.
> 因みに, 「項」の「値」は定義されないこともありますから,
> A_i らは「値」が定義できる範囲に制限するつもりなのでしょうが,
> それが確定すると仮定して話をするのは不自由です.

つまり,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_formula__00.jpg
のA_iは実数限定にしてあるからでしょうか?

p9の公理Cにて自然延長とした場合にA^*_iとさり気無く(定義域を実数から超実数へと)延長すればいいだけではないのでしょうか?

>> 式の定義に就いてですが,
>> 方程式や不等式の変数の定義が出来なかった為に,
> 変数というのは単に他に意味を持たない「記号」のことです.
> 形式的にはそれだけのこと.
> 一方, それには「実数」が代入できるという意味があります.

やはり,集合{(x_1,x_2,…,x_m);f(x_1,x_2,…,x_m)=true}の束縛変数(x_1,x_2,…,x_m)の事と言ってはならないのでしょうか?
これなら,(x_1,x_2,…,x_m)の箇所のみを取り上げても何の意味を成しませんし,
実数(c_1,c_2,…,c_m)が項f(x_1,x_2,…,x_m)に代入できるとは,像f(c_1,c_2,…,c_m)の事に他なりませんし。

>> {(x_1,x_2,…,x_m);f(x_1,x_2,…,x_m)=true}という集合での
>> 束縛変数という形で定義させていただきました。
> 貴方の言う「式」とは f のことなのですか,
> その集合は「式」の何なのですか.

{(x_1,x_2,…,x_m);f(x_1,x_2,…,x_m)=true}の事でございます。
例えば,式g(x_1,x_2,…,x_m)=h(y_1,y_2,…,y_n)とかも結局は
{(x_1,x_2,…,x_m,y_1,y_2,…,y_n);g(x_1,x_2,…,x_m)-h(y_1,y_2,…,y_n)=true}の形に持って行けて,
この集合に含まれる元をg(x_1,x_2,…,x_m)=h(y_1,y_2,…,y_n)の解だと呼べばいいし,
{(x_1,x_2,…,x_m,y_1,y_2,…,y_n);g(x_1,x_2,…,x_m)-h(y_1,y_2,…,y_n)=true}=φなら,^M 
g(x_1,x_2,…,x_m)=h(y_1,y_2,…,y_n)は解を持たないという意味を表現できますし,
g,hの定義域を明記したければと分出公理に従って,
{(x_1,x_2,…,x_m,y_1,y_2,…,y_n)∈×_{i=1}^{m+n}A_i;g(x_1,x_2,…,x_m)-h(y_1,y_2,…,y_n)=true}
と表せばいいだけのことでございます。

>> これなら例でのf(x,y,z)については
>> (1,2,3)が2x^2+√7sin^2y=exp(z)-x^{1/4}の解なら
>> (1,2,3)∈{(x,y,z)∈[0,+∞)×R^2;f(x,y,z)=true}と表せますし,
>> (-1,2,3)が2x^2+√7sin^2y=exp(z)-x^{1/4}の解でないなら
>> (1,2,3) \not \in {(x,y,z)∈[0,+∞)×R^2;f(x,y,z)=true}と表せますし,
>> 2x^2+√7sin^2y=exp(z)-x^{1/4}自身が解を全く持たない場合は
>> {(x,y,z)∈[0,+∞)×R^2;f(x,y,z)=true}=φと表せます。
>> 不等式や不方程式の場合も同様です。
> f の話をしているのか, 「集合」の話をしているのか,
> どちらでしょう.

2つの項f(x_1,x_2,…,x_m),g(x_1,x_2,…,x_m)からできた式,f(x_1,x_2,…,x_m)=g(x_1,x_2,…,x_m)を 

{(x_1,x_2,…,x_m)∈×_{i=1}^mA_i;f(x_1,x_2,…,x_m)-g(x_1,x_2,…,x_m)=true}と集合で(統一して)表したらどうかと述べているのでございます。

項f(x_1,x_2,…,x_m)の定義域を×_{i=1}^mA_iとするなら
項f(x_1,x_2,…,x_m)の変数x_1,x_2,…,x_mというのは単に他に意味を持たない「記号」というよりかは
写像f∈Map(×_{i=1}^mA_i,R)の×_{i=1}^mA_iの元の事と言えば済むだけの事だと思ったのです。

>> 上述のように
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_formula__00.jpg
>> と訂正致しました
> 形式的な部分と意味の部分とを分離しておかないと,
> 混乱するだけですよ.

了解です。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_formula__00.jpg
では#B∈N\setminus{0}"の箇所が式系とは式が有限個の集合であるいう事を述べています。

>> a^*∈A^* ⇔ {i∈I;a_i∈A}∈U for a^*=[{a_i}_{i∈I}]なのですね。
> ということで,
> <http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_system_formulae__00.jpg>
> が駄目であることは御了解いただけましたか.

Def9.3が既にNGだと仰るのですね。

>> [{a_i}_{i∈I}]の{a_i}_{i∈I}は実数列を表しているのでしょうか,
> はい.
>> もしそうなら[(a_i)_{i∈I}]と書いてもいいでしょうか?
> はい.

了解です。

>> 非力ながら
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_real_numbers__00.pdf
>> という具合に実数の公理を使わず,ZFC公理系のみから実数を定義してみました。
>> これででも大丈夫でしょうか?
> そりゃあ, 有理数の Cauchy 列の同値類から実数を構成する話は
> 何処にでも書いてありますが, そうやって構成したものが
> 「実数の公理」を全て満足することはちゃんと確かめられましたか.

実数の公理とは実数の連続性,　即ち,「実数は順序完備体である」を言えばいいのですよね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/real_number_field__00.pdf
という具合に,有理Cauchy列と零数列と正負と順序を定義し,Archimedes性と順序体をなす事と完備である事を示しましたので実数を公理を満たすと思います。
これで宜しかったでしょうか?

>> 取り敢えず\mathbb{C}とその四則演算まで一揆に定義してから
> そんな定義はないようですが.

えっ。結局はN~を定義して,次にZ~を定義後,そこでf(N~)⊃Z~なる埋め込みfがあって,そのf(N~)を新たに自然数と定義しなおして,
Q~を定義後,同様にg(Z~)⊃Q~なる埋め込みgがあって,そのg(Z~)やgf(N~)を新たに整数や自然数と定義しなおして,
更に, R~を定義後,同様にh(Q~)⊃R~なる埋め込みhがあって,そのh(Q~)やhg(Z~)やhgf(N~)を新たに有理数や整数や自然数と定義しなおして(この間は\mathbf{N},\mathbf{Z},\mathbf{Q},\mathbf{R}という記号は定義できず(∵厳密にはこれらはN~,Z~,Q~,R~と異なる為)),
R~を使って \mathbf{C}を定義後,晴れて,\mathbf{N},\mathbf{Z}\mathbf{Q}\mathbf{R}と定義して行ったのですが,不味かったでしょうか?

>> \mathbb{C}⊃\mathbb{R}⊃\mathbb{Q}⊃\mathbb{Z}⊃\mathbb{N}という包含関係で 
>> 
>> 実数体,有理数体,整数環,自然数系を定義していきましたので
> そうなっていませんね.
> [Def120.8] で有理数から実数を定義しているだけですね.
> 次の [定義220] で突然複素数が現れているようですが,
> その複素数の定義は何処にもありませんね.

大変失礼致しました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_real_numbers__01.pdf
が複素数の定義でございます。

>> [Def9.8]にてI_A=min{I;I is a recursive set}のI_Aが自然数系になるのでしょうが,
>> このI_AをN~という記号で表してから,Z~,Q~,R~,\mathbb{C}という具合に
>> \mathbb{C}に達しました。
> ですから達していません.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_real_numbers__01.pdf
なら達してますよね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_hyper_real_number__00.jpg
>> という具合にこれもZFC公理系だけから定義してみました。
>> これで間違いないでしょうか?
> U が定義されていませんね. ですから駄目です.

すいません。1行目に定義しております。小さくて大変申し訳ありません。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_hyper_real_number__01.jpg
>> と記述してもいいのですね。
> U が分かっていなければ, 意味ありません.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_hyper_real_number__00.jpg
の1行目のようにUを定義すれば超実数の定義して大丈夫でしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_filter__00.jpg
>> となってしまったのですが,,,
>> 兎に角,rは関係記号(一階関係記号,二階関係記号,三階関係記号,…)なのですが,
> 関係記号の分類は「一変数関係記号」「二変数関係記号」等々です.

あまり, 三階関係記号という言葉は使われる機会が少ないのでしょうか?

>> (i)以外にどのような条件が必要なのでしょうか?
> 今考えたいのは I (= N) のベキ集合 P(I) = A についてであり,
> r を包含関係 \subset とします.
> A の部分集合 B がフィルターであるとは,
> (i) \emptyset \notin B,
> (ii) x, y \in B ならば x \cap y \in B,
> (iii) x \in B, x \subset y ならば y \in B
> が成立することです. (ii) の有限交叉性が重要.

大変有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_filter__02.jpg
でいいのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_ultrafilter__01.jpg
>> という具合に(C,≦^r,A)と"⊂"に関して比較可能なfiltersの中で
>> 一番小さなfilter("⊂"を順序と見た場合での一番小さなfilter)を
>> ≦^rに関するA上のultrafilterと呼ぶのだと思います。
> それは話が逆です. 極大なものを ultrafilter と呼びます.
> つまり, A の部分集合 C もフィルターで B \subset C であれば,
> C = B となるフィルター B が超フィルターです.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_ultrafilter__03.jpg
でいいのですね。

>> つまり, 簡潔に言えば,極大フィルターの事を
>> 自明な超フィルターと呼ぶのでしょうか?
> 違いますよ. I の元 e \in I を一つ選ぶとき,
> B = { x \subset I | e \in x }
> のようなフィルターを自明な超フィルターと呼ぶのです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_trivial_ultrafilter__00.jpg
でいいのですね。

> これは極大フィルターですが, 極大フィルターには
> この形のものでないものもあることが,
> Zorn の補題から導かれます.
> 超ベキの構成には自明でない超フィルターを使います.

有難うございます。参考になります。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_maximal_filter__00.jpg
>> が極大フィルターの定義ですよね。
> その文章は変ですね. 違います.

中括弧{の前に何も接頭語が付いてませんでしたね。

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_filter__02.jpg
なのでした。失礼致しました。


最後に,超積と超準解析「齋藤正彦著」
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/nonstandard_analysis_by_M_SAITO.pdf
を参考にして
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_hyper_real_number__02.pdf
と定義してみた(見易いようにFを法とする超積の元を黄色で表示しております)のですがこれで大丈夫でしょうか?
Def412.2053にてF∩{I_n}_{n∈N}=φで宜しいですよね。
あと,最後のDef412.20546にて超実数を定めるFは一体どんなω-incompleteフィルターなのでしょうか?