ご回答誠に有難うございます。

>> 幾つか公理が導入されてますがZFC公理系のみで超実数を定義する事は
>> 不可能なのでしょうか?
> 二重に間違った質問だろうと思います.
> 実数を定義するには実数の公理系が必要です.
> それと同様に超実数を定義するには超実数の公理系が必要になる
> のは当たり前です. その定義を満足するものがZFC公理系による
> 集合論上に構築できるか, と言えば構築できます.

(超)実数はZFC公理系だけからでも構築できるのですね。
安心いたしました。

> それが超ベキの話.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_tetration__00.jpg
が超ベキのtetrationとpetrationの定義なのですね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%B3
を参考にいたしました。
ZFC公理系とこの超ベキからどのようにして超実数が構成できるのでしょうか?

> 一方, 超実数自体は実数の公理系の通常のものとは違うモデルであり,
> 通常のモデルとの関係が超実数を超実数たらしめているものです.
> その意味では, 実数の公理系と拡大モデルの概念が超実数の本質である
> とも言えます.

そうだったのですか。

>> つまり,任意のf∈Map(R^n,R^m)に対して
>> (具体的には像を表記できないが)
>> f^*∈Map((R^*)^n,(R^*)^m)なるものが唯一つ存在する
>> という解釈でいいのでしょうか?
> f^* という f の像について,
> 「具体的には像を表記できない」というのは
> f が具体的に表記できない場合でしかありません.

つまり,fが具体的に表記できる場合にはf^*も具体的に表記できるのですね。

> 超積による超実数の「実現」ではそれが明らかです.

"実現"とは超積から超実数を定義できるという意味ですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_system_formulae__00.jpg
>> という風に"式系"を定義しました。(但し,Bou(A)はAの境界点の集合です)
> 何処からそんな出鱈目を引っ張り出したのでしょうか.
> formula の定義からして変です.
> S の元は R の空でない部分集合 A に対して,
> A 上の２値({true, false})を取る関数の「全体」で良いのですか.
> 関数の一つとしても formula を定義ことにはなりません.

これは大変失礼致しました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_formula__00.jpg
と訂正させていただきました。

式の定義に就いてですが,
方程式や不等式の変数の定義が出来なかった為に,{(x_1,x_2,…,x_m);f(x_1,x_2,…,x_m)=true}という集合での束縛変数という形で定義させていただきました。
これなら例でのf(x,y,z)については
(1,2,3)が2x^2+√7sin^2y=exp(z)-x^{1/4}の解なら
(1,2,3)∈{(x,y,z)∈[0,+∞)×R^2;f(x,y,z)=true}と表せますし,
(-1,2,3)が2x^2+√7sin^2y=exp(z)-x^{1/4}の解でないなら
(1,2,3) \not \in {(x,y,z)∈[0,+∞)×R^2;f(x,y,z)=true}と表せますし,
2x^2+√7sin^2y=exp(z)-x^{1/4}自身が解を全く持たない場合は
{(x,y,z)∈[0,+∞)×R^2;f(x,y,z)=true}=φと表せます。
不等式や不方程式の場合も同様です。

>> 公理Dでは
>> Aを実方程式f(x)=0の実解の集合だとすると,
>> f^*(x^*)=0は同じ超実解A^*
>> と述べてあるのですよね。
>> このA^*って
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_system_formulae__00.jpg
>> の[Def9.3]でのA^*という解釈で大丈夫でしょうか?
> A^* が定義されているのは [Def9.4] のようですが,
> そこに書いてあるのは意味不明です.

上述のように
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_formula__00.jpg
と訂正致しました

> monad を mnd とは約さないであろうことは,
> boundary bou とは約さないであろうことと同じ位に確かなことです.

これは大変失礼いたしました。
色々な点の集合を統一的に3文字で表したかったもので。

> Iso は更に意味不明です. 孤立点は境界点です.

仰る通りでございます。

> そして, どう好意的に解釈しても間違っています.

(X,T)を位相空間とし,A⊂Xの時
IsoA:={x∈A;X⊃∃B is a neibourhood of x such that A∩B={x}}
Aの孤立点の集合の定義でございます。

> A^* は R^* の超ベキでの実現で考えるなら,
> a^* \in^* A^* \Leftrightarrow { i \in I | a_i \in A } \in U
> for a^* = [{ a_i }_{i \in I}]

a^*∈A^* ⇔ {i∈I;a_i∈A}∈U for a^*=[{a_i}_{i∈I}]なのですね。
[{a_i}_{i∈I}]の{a_i}_{i∈I}は実数列を表しているのでしょうか,もしそうなら[(a_i)_{i∈I}]と書いてもいいでしょうか?

> で定まるものですし, 公理的に考えるなら,
> \chi_A \colon R \to { 0, 1 } を A の定義関数, 即ち,
> \chi_A(a) = 1 if a \in A, \chi_A(a) = 0 if a \not\in A
> で定義される関数とするとき, (\chi_A)^* \colon R^* \to { 0, 1 }
> を定義関数とする集合になります.

χ_A;R→{0,1}, 即ち χ_A(a)=1(if a∈A),0(if a\not\in A)と定義する時,
(χ_A)^*:R^*→{0,1}
これも大変参考になります。ちょっと考えさせてください。

>> sin(x)=Σ_{n=0}^∞(-1)^n x^{2n-1}/(2n-1)!と定義致しましたが
> n = 0 から始めていますから, 2n-1 ではなく 2n+1 です.

これは大変失礼いたしました。

>> そうしますと,sin(x)の自然延長は
>> sin^*(x^*):=Σ_{n=0}^∞(-1)^n (x^*)^{2n-1}/(2n-1)!と定義されるのでしょうか?
>> と定義されるのでしょうか?
> 2n-1 ではなく 2n+1 です.
> 定義されるというより, 一致するという方が適切でしょう.
> 公理より, \sin^* という何かがあることは明らかですから.

そうですね。

>> 結局,こちらででもZFC公理系以外に新たな公理を用意せねば
>> 超実数を論じる事は不可能なのでしょうか?
>> 出来ればZFC公理系のみで論じれれば大変うれしいのですが。
> それは実数の公理なしに実数を扱いたい, というような話ですね.
> 勿論, ZFC公理系から, 自然数の存在は導かれ, 有理数が構成され,
> 有理数の基本列の同値類の全体として実数が構成され,

非力ながら
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_real_numbers__00.pdf
という具合に実数の公理を使わず,ZFC公理系のみから実数を定義してみました。
これででも大丈夫でしょうか?

取り敢えず\mathbb{C}とその四則演算まで一揆に定義してから
\mathbb{C}⊃\mathbb{R}⊃\mathbb{Q}⊃\mathbb{Z}⊃\mathbb{N}という包含関係で実数体,有理数体,整数環,自然数系を定義していきましたので
[Def9.8]にてI_A=min{I;I is a recursive set}のI_Aが自然数系になるのでしょうが,
このI_AをN~という記号で表してから,Z~,Q~,R~,\mathbb{C}という具合に\mathbb{C}に達しました。

> 選択公理から自然数上の自明でない超フィルターの存在が導かれますから,
> 実数の超ベキとして超実数は構成できます.
> その意味ではZFC公理系のみで論じることはできます.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_hyper_real_number__00.jpg
という具合にこれもZFC公理系だけから定義してみました。
これで間違いないでしょうか?

>> Iは帰納的集合でΠ_{i∈I}RはR^{アレフ_0}という意味ですね。
> 無限集合であれば何でも良いわけですが,
> 普通は自然数全体 N で良いでしょう.

了解です。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_hyper_real_number__01.jpg
と記述してもいいのですね。

>>> I の超フィルター U を用いて定まる同値関係で割った時の
>> フィルターの定義は
>> 「(A⊃)Bに関係記号(一階関係記号,二階関係記号,…)rが存在する時に
>> Bはrに於けるA上のフィルターである」で,
> r は(半)順序関係なんでしょうが,
> B が r について一定の条件を満たさなければ
> フィルターにはなりませんよ.

すみません。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_filter__00.jpg
となってしまったのですが,,,
兎に角,rは関係記号(一階関係記号,二階関係記号,三階関係記号,…)なのですが,(i)以外にどのような条件が必要なのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_ultrafilter__00.jpg
>> が超フィルターの定義ですね。
> そこにはフィルターについて, 何の条件も書かれていませんね.
> 超フィルターを定義するのに \min を使っていますが,
> どうであれば \min だというのですか.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_ultrafilter__01.jpg
という具合に(C,≦^r,A)と"⊂"に関して比較可能なfiltersの中で一番小さなfilter("⊂"を順序と見た場合での一番小さなfilter)を≦^rに関するA上のultrafilterと呼ぶのだと思います。

> どうも理解ができていないように見受けられます.

誠に申し訳ありません。

>> 従って,ここではI:=min{(J,⊂,U)∈2^U;I⊂(C,⊂,U)}が
>> Iの超フィルターUなのですね。
> その記号列を文章化できますか.

これは大変失礼致しました。I⊂(C,⊂,U)の箇所が既に意味不明でした。

>> 自明な超フィルタとはどのようなものでしょうか?
> N の一つの元 n_0 を含む N の部分集合全体を取ると
> 一つの極大なフィルターになります. このようなものが
> 自明な超フィルターです.

つまり, 簡潔に言えば,極大フィルターの事を自明な超フィルターと呼ぶのでしょうか?
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_maximal_filter__00.jpg
が極大フィルターの定義ですよね。