いつも大変お世話になっております。

キースラ著,齋藤正彦訳の無限小解析
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinitesmal_analysis_from_p5_to_p9.pdf
で自然延長の定義を探しています。
p7の初等性質とは一階論理(∧,∨,¬,∀,∃を組み合わせて作られた命題論理式)の事を指すようです。

それでf∈Map(A,R) (但し,A⊂R)の自然延長f^*∈Map(A^*,R^*)を
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_natural_extension__00.jpg
という具合に定義を試みたのですが
f^*(A^*\setminus R)=??
の右辺は何と書けるのでしょうか?
7ページには"fと初等性質を共有"するようにf^*を定義するように記述されているのですが
例えばf(x)=sin(x)ならf^*(x)ではsinの曲線を崩さないように滑らかに実数の隙間を超実数で埋めて定義するのかなとも思いましたが,
キチンと数式で記述する事が出来ません。

あと,
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
での自然延長の欄で
『f:R→R,R^*∋x={x_1,x_2,…}, (但し,各x_i∈R)
f^*(x):={f(x_1),f(x_2),…}で定義されるf^*をfの自然延長という』
というシンプルな定義を見つけたのですが
ここでxはRの部分集合になってますよね。
だから"R^*⊃x={x_1,x_2,…}"と書くべきだと思うのですが、、
R^*の元はRの部分集合なのですかっ!?
そうしますと,f^*は2^Rから2^Rへの写像になっているのですが、、
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/infinitesmal_analysis_from_p5_to_p9.pdf
ではR^*の元はRの部分集合であるという定義らしきものは見当たらないのですが。
勘違いしておりますでしょうか?


吉田京子