すっかり遅くなりまして申し訳ありません。ご回答誠に有難うございます。

>> 確認なのですがGaussian primeの定義は
>>  a \in Z[i] is a Gaussian prime number.
>>  \Leftrightarrow { x \in Z[i] ; x|a } = {\pm 1, \pm i, \pm a, \pm ia)}.
>> ですよね。
> はい.

有難うございます。

>>> ここまでの変形は, 間違いではありません.
>>> しかし, この議論では f_j が全て偶数であることが
>>> 「十分」であることしか出ないでしょう.
>> f_j が全て偶数であればNを平方の和として書けるとは限らないのですね。
> 話が噛み合いませんね.

すいません。これは書きミスでした。
Nを平方の和と書けるならばf_j が全て偶数であるとは限らないのでしたね。

>  f_j が全て偶数であることが N を平方の和として書けることの
> 十分条件である, つまり,
：
> ちゃんと議論しないといけません.

そうですね。反例として
6=(2+√(-1))^2+(2-√(-1))^2
が挙げられますね。
6=2・5^0・3^1で5∈1mod4,3∈3mod4ですが3の指数は1(:奇数)になっていますので
「f_1,f_2,…,f_sは全て偶数になる」とはなっていませんね。

> # 十分であることが出せていないということは,
> # 未だその議論の入り口に辿り着いていないということなので,
> # その議論を示すことは止めておきます.

すいません。単なる勘違いでした。

>>>  N = (A + i B)(A - i B) となっていれば,
>>>  (A + i B)(A - i B) = A^2 + B^2 なので,
>>>  N = A^2 + B^2 であることは明らかです.
>> そうですね。
> 全然分かっていませんね.

すいません。

>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sft...
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sft...
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>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sft...
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sft...
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sft...
>> という具合に計算して(A'^2+B'^2)にはなってますが
>> 取り合えず2平方の和になる事は確認できました。
> だから, 途中の計算は, 貴方の言う, N = (A'_1)^2 + (B'_1)^2 に
> なることを示すのには全く無意味でしょう.

これもすいません。

> もう一度書いておきますね.
>  N = 2^t \prod_{i=1}^r [(a_i)^2 + (b_i)^2]^{e_i} \prod_{j=1}^s q_j^{f_j}
>  = (-i)^t (1 + i)^{2t}
：
>    u^{-1} (-i)^t (1 + i)^t
>    \prod_{i=1}^r [(a_i - i b_i)^{x_i}(a_i + i b_i)^{e_i - x_i}]
>    \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
> と N を書き表すとき(但し, u は任意の unit, 0 ≦ x_i ≦ e_i),

確認しました。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst14.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst15.JPG
確かにこのように書けますね。

>   u (1 + i)^t
>   \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{x_i}(a_i - i b_i)^{e_i - x_i}]
>   \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
> を計算した結果が A + i B (A, B は ordinary integer) であったとすれば,
> その複素共役 A - i B は
>   u^{-1} (-i)^t (1 + i)^t
>   \prod_{i=1}^r [(a_i - i b_i)^{x_i}(a_i + i b_i)^{e_i - x_i}]
>   \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
> を計算した結果に一致しますから,

ここがどうしても分かりません。
u (1 + i)^t
\prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{x_i}(a_i - i b_i)^{e_i - x_i}]
\prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}

の共役複素数が

u^{-1} (-i)^t (1 + i)^t
\prod_{i=1}^r [(a_i - i b_i)^{x_i}(a_i + i b_i)^{e_i - x_i}]
\prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}

にどうしてなるのでしょうか?
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst15.JPG
の最後の行がどうして言えるでしょうか?

もしかして
『[Prop181.7] Let y,z∈C＼R and Re(y)Re(z)≠0…【1】.  Then  yz∈R ⇔ y= z~  (但
し,z~はzの共役複素数).』
という命題が使えて
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst16.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst17.JPG
という風にして

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst15.JPG
の最後の行が言えると思ったのですが二箇所??があり,これらの理由が分かりません。
??の箇所の理由はどのように言えますでしょうか?

>  N = (A + i B)(A - i B) = A^2 + B^2 となります.
> ちゃんと議論すれば,
> これ以外に, N を Gaussian integer A + i B と
> その複素共役 A - i B との積に書く書き表し方がないことが示せますから,
> このような書き方の全体が N を ordinary integer の平方の和 A^2 + B^2 に
> 書く書き表し方の全体になります.

NをA + i B とA - i B の積の形に表せないのなら虚部が残ってしまい,NはA^2+B^2とは書き表せませんね。

>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sft...
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sft...
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sft...
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sft...
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sft...
>> の所まで来たのですが
>  A + i B の中をまとめ上げ直しても意味がありませんよ.

すいません。

>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sft...
>> とかにしたら残りの(a_1-b_1√(-1))^{e_1-2x_1}と(a_1+b_1√(-1))^{e_1-2x_1}は
>> 処理できて2平方数の和になりますが
>> 更にuz^tの積の部分とu~z^t~ (~は共役を表す) の積の部分は計算していっても
>> 最終的には
>> A+B√(-1)とA-B√(-1)の形といううまい具合になりませんよね?
> 全体を見れば, お互いに複素共役になっているのは明らかです.

え〜っ。　どっどうして明らかなのですかっ?