Re: Legendreの2平方数の和の定理
工繊大の塚本です.
In article <ea621f7a-8a94-49a1-8d07-cfb2ef054cf5@p1g2000yqm.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> そうですね。反例として
> 6=(2+√(-1))^2+(2-√(-1))^2
> が挙げられますね。
> 6=2・5^0・3^1で5∈1mod4,3∈3mod4ですが3の指数は1(:奇数)になっていますので
> 「f_1,f_2,…,f_sは全て偶数になる」とはなっていませんね。
それは自然数の平方の和ではないので, ここの話とは無関係です.
> ここがどうしても分かりません。
> u (1 + i)^t
> \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{x_i}(a_i - i b_i)^{e_i - x_i}]
> \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
>
> の共役複素数が
>
> u^{-1} (-i)^t (1 + i)^t
> \prod_{i=1}^r [(a_i - i b_i)^{x_i}(a_i + i b_i)^{e_i - x_i}]
> \prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
>
> にどうしてなるのでしょうか?
複素数の積の複素共役はそれぞれの複素数の複素共役の積に
なりますから, 複素共役を \overline{ } で表せば,
\overline{
u (1 + i)^t
\prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{x_i}(a_i - i b_i)^{e_i - x_i}]
\prod_{j=1}^s q_j^{f_j/2}
}
= \overline{u} (\overline{1 + i})^t
\prod_{i=1}^r [(\overline{a_i + i b_i})^{x_i}
(\overline{a_i - i b_i})^{e_i - x_i}]
\prod_{j=1}^s (\overline{q_j})^{f_j/2}
= u^{-1} (1 - i)^t
\prod_{i=1}^r [(a_i - i b_i)^{x_i}(a_i + i b_i)^{e_i - x_i}]
\prod_{j=1}^s q_i^{f_j/2}
= u^{-1} (-i)^t (1 + i)^t
\prod_{i=1}^r [(a_i - i b_i)^{x_i}(a_i + i b_i)^{e_i - x_i}]
\prod_{j=1}^s q_i^{f_j/2}
となるわけですが,
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst15.JPG
> の最後の行がどうして言えるでしょうか?
明らかではありませんか.
後はこれが理解出来てからの話にしましょう.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp
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