いつもお世話になっております。

下記の
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/259.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/261.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/263.jpg
Sum of Two Squares Theorem(Legendre)
D_1:=#{d∈Z;d|N,d≡1(mod4)}, D_3:=#{d∈Z;d|N,d≡3(mod4)},
とすると
自然数Nを2つの整数の和としての表し方R(N)はR(N)=4(D_1-D_3)で表される。
という定理の証明についての質問です。

以前の
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/gauss_prime7.JPG
で
a_i-b_i√(-1)とa_i+b_i√(-1)とq_jがGaussian primeである事は分かりました。

そこで
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst.JPG
の(ii)の,まるi から先に進めずにいます。
もしNが2つの平方の和として表されるならN=A^2+B^2という形でさらにN=(A+B√(-1))(A-B√(-1))という形になることはわか
ります。

それから解説では

A+B√(-1)=u(1+√(-1))^t[Π_{i=1..r}(a_i+b_i√(-1))^{x_i}(a_i-
b_i√(-1))^{e_i-x_i}]Π_{j=1..s}q^{f_j/2}
A-B√(-1)=u'(1+√(-1))^t[Π_{i=1..r}(a_i+b_i√(-1))^{x_i}(a_i-
b_i√(-1))^{e_i-x_i}]Π_{j=1..s}q^{f_j/2}
(但し,u,u'はunits)

という風な形になると言ってあるのでしょうか?

それからどうして
4(e_1+1)(e_2+1)…(e_r+1)
が出てくるのかが分かりません。


吉田京子