ご回答誠に有難うございます。

>>> 取り方が何通りあるか, の話にしたわけです.
>> そうですね。A,Bは色々なGaussian integersに取れる訳ですよね。
>  A, B は ordinary integers です.

これはそうでした。失礼致しました。

確認なのですがGaussian primeの定義は
「Z[√(-1)]∋a is a Gaussian prime number. ⇔ {x∈Z[√(-1)];x|a}={±1,±√(-1),
±a,±a√(-1)}.」
ですよね。

>  A + i B という Gaussian integer が色々に取れるわけです.

そうなんですか。。

>>>  A + i B が N, つまり,
>>>  (-i)^t (1 + i)^{2t}
>>>  \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)(a_i - i b_i)]^{e_i}

>> (\prod_{i=1}^r (a_i^2 + b_i^2)^{e_i}にBrahmagupta's identityを繰返し施す)
>> = (-i)^t (1 + i)^{2t} (X^2+Y^2)
>>   \prod_{j=1}^s (q_j^{f_j/2})^2
>> ココでf_jが全て偶数である事が必要。
> ここまでの変形は, 間違いではありません.
> しかし, この議論では f_j が全て偶数であることが
> 「十分」であることしか出ないでしょう.

f_j が全て偶数であればNを平方の和として書けるとは限らないのですね。

>> = (-i)^t (1 + i)^{2t} (X'^2+Y'^2)
>> (\prod_{j=1}^s (q_j)^{f_i}にBrahmagupta's identityを繰返し施す)
> これは Brahmagupta's identity とは無関係です.

そうでした。\prod_{j=1}^s (q_j^{f_j/2})の部分の処理には単に分配法則を使っているだけでしたね。

>  X' = X \prod_{j=1}^s (q_j^{f_j/2}),
>  Y' = Y \prod_{j=1}^s (q_j^{f_j/2}) としただけですね.

そうですね。それと同じ事ですね。

>> で途中まで平方の和の出来ましたが
>> 「(-i)^t (1 + i)^{2t}」の部分はどうやって処理すればいいのでしょうか?
> このような変形では分かり難くしているだけです.
>  N = (A + i B)(A - i B) となっていれば,
>  (A + i B)(A - i B) = A^2 + B^2 なので,
>  N = A^2 + B^2 であることは明らかです.

そうですね。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst2.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst3.JPG
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http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst7.JPG

という具合に計算して(A'^2+B'^2)にはなってますが取り合えず2平方の和になる事は確認できました。

>>>  u を任意の unit とし, 0 ≦ x_i ≦ e_i とするとき,
>>>  A + i B
>>>  = u (1 + i)^t
>>>    \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{x_i}(a_i - i b_i)^{e_i - x_i}]

>> のA部とB部とが等しくなる事はどうして分かるのでしょうか?
>  u の複素共役は u^{-1} であり,
>  (1 + i) の複素共役は (-i) (1 + i) であり,
>  (a_i + i b_i) の複素共役は (a_i - i b_i) であり,
>  (a_i - i b_i) の複素共役は (a_i + i b_i) であり,
>  q_j の複素共役は q_j ですから,
> それらを(何個ずつか)掛け合わせたものの複素共役は,
> それぞれの複素共役を(同じ個数ずつ)掛け合わせたものになることから,
> 明らかです.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst8.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst9.JPG
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http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst12.JPG

の所まで来たのですが
x_1≦e_1 and x_1 is evenの時は
(a_1-b_1√(-1))^{e_1-2x_1}と(a_1+b_1√(-1))^{e_1-2x_1}の所はどう処理すればいいのでしょうか?

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst13.JPG
とかにしたら残りの(a_1-b_1√(-1))^{e_1-2x_1}と(a_1+b_1√(-1))^{e_1-2x_1}は処理できて2平方数の
和になりますが
更にuz^tの積の部分とu~z^t~ (~は共役を表す) の積の部分は計算していっても最終的には
A+B√(-1)とA-B√(-1)の形といううまい具合になりませんよね?

A+B√(-1)とC-B√(-1)という風に異なったGaussian integersが出来上がるだけだと思うのですが。。。

何か勘違いしてますでしょうか?