工繊大の塚本です.

In article <bb122ba5-9e33-4f77-95c8-6995f08643e0@g4g2000prj.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst1.JPG
> のように2^t(a_i^2+b_i^2)Π_{j=1..s}q_j^{f_j}まで辿り着いたのですが
> これがA^2+B^2の形になっている事はどのようにして分かるのでしょうか?

 N を A^2 + B^2 の形に書く書き方が何通りあるか,
を勘定するとき, 先ず, N を自然数として素因数分解して,
 N = 2^t \prod_{i=1}^r (p_i)^{e_i} \prod_{j=1}^s (q_j)^{f_j}
(但し, p_i は p_i ≡ 1  (mod 4) となる素数,
 q_j は q_j ≡ 3  (mod 4) となる素数) としたものを
更に Gaussian primes の代表元と units の積として
 N = (-i)^t (1 + i)^{2t}
     \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)(a_i - i b_i)]^{e_i}
     \prod_{j=1}^s (q_j)^{f_j}
と書いておいて,
 N = (A + i B)(A - i B) となるような整数 A, B の
取り方が何通りあるか, の話にしたわけです.

 A + i B が N, つまり,
 (-i)^t (1 + i)^{2t}
 \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)(a_i - i b_i)]^{e_i}
 \prod_{j=1}^s (q_j)^{f_j}
を割り切り, 更に A + i B の複素共役 A - i B も
 (-i)^t (1 + i)^{2t}
 \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)(a_i - i b_i)]^{e_i}
 \prod_{j=1}^s (q_j)^{f_j}
を割り切り, 更に A + i B と A - i B の積が
 (-i)^t (1 + i)^{2t}
 \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)(a_i - i b_i)]^{e_i}
 \prod_{j=1}^s (q_j)^{f_j}
となるというのは,
 f_j が全て偶数であるときに可能で,
 u を任意の unit とし, 0 ≦ x_i ≦ e_i とするとき,
 A + i B
 = u (1 + i)^t
   \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)^{x_i}(a_i - i b_i)^{e_i - x_i}]
   \prod_{j=1}^s (q_j)^{f_j/2}
である場合で尽くされます.
このとき, A + iB の複素共役 A - i B は
 A - i B
 = u^{-1} (-i)^t (1 + i)^t
   \prod_{i=1}^r [(a_i - i b_i)^{x_i}(a_i + i b_i)^{e_i - x_i}]
   \prod_{j=1}^s (q_j)^{f_j/2}
であり,
 N
 = (-i)^t (1 + i)^{2t}
   \prod_{i=1}^r [(a_i + i b_i)(a_i - i b_i)]^{e_i}
   \prod_{j=1}^s (q_j)^{f_j}
 = (A + i B)(A - i B)
 = A^2 + B^2
であることは明らかです.

> あとどうしてuが要るのでしょうか?

違う unit を掛ければ違う Gaussian integer になるのですから
必要です. それとも「 u' が要るのでしょうか」でしょうか.
 A - i B は自動的に決まるのですから, u' と書いてあるのは
 u^{-1} (-i)^t と書くのを省略してあるわけです.

> u'は1/uの事で結局1になるので不要に思うのですが。

 u' = u^{-1} (-i)^t ですね. これを付けないと
 A + i B の複素共役になりません.

# unit u の複素共役が u^{-1} であるとか,
# 1 + i の複素共役 1 - i = (-i)(1 + i) であるとかは,
# お気付きでしょうね.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp