ご回答大変ありがとうございます。


>  ∫f_1-lim_{n→∞}∫f_n=∫f_1-lim_{n→∞}f_n
> から
>  lim_{n→∞}∫f_n=∫lim_{n→∞}f_n
> が導けるのは ∫f_1 < ∞ のときだけです.

確かにそうです。∞-∞は定義されてませんものね。


>> f_nはf_n(x)=x/nという関数でしょうか?これはf_n∈L^1ではないので
>> MTCは使えないのではないでしょうか?
> f_n ↑ f のとき ∫_R f dx = lim_{n→∞} ∫_R f_n dx
> は f_n が L^1 であるかどうかに関わらず成立します.
> # ∞ = ∞ であるにせよ.

その通りでございます。


> 一方, 貴方の言う「系」は f_1 が可積分でなければ成立しません.

ここでのE'_jはA_σの元です。そしてEがA_σの元の時はE^{x_2}がμ_1可測である事,μ_1(E^{x_2})がμ_2可測である
事,
μ_1(E^{x_2})がμ_2可積である事は証明済みでした。
よって「系」が使えると思いますが…。
「系」を使う際にμ_2可積である事を述べなかったのが問題だとおっしゃるのでしょうか?
そうでしたらその通りでございます。一言述べるべきでした。

それともまた勘違いしてますでしょうか?


> 0 ≦ f_n ≦ f_1 で f_1 ∈ L^1 のとき,
> ∫_R lim_{n→∞} f_n dx = lim_{n→∞} ∫_R f_n dx
> となることが, dominated convergence theorem で,
> それを使っているでしょう, というのが私の comment でした.
> つまり, E = ∩_{n=1}^∞ E_n の E_1 について
> (μ_1×μ_2)(E_1) < ∞, という条件は使われています.

なるほど。了解いたしました。