ご回答大変ありがとうございます。

>> (Ω_i,Σ_i,μ_i)の積測度という。
> 完備化しない場合ですね.

未完備化空間での積測度の定義と完備化空間での積測度の定義
 『(Ω_i,Σ_i,μ_i)を測度空間とする(i=1,2,…,n)。その時,A:={Π[i=1..n]E_i;E_i∈Σ_i}は筒集合と呼ば
れ,半加法族をなす。
そしてAで生成されるσ集合体σ(A)を積σ集合体と呼ばれる。
更に完備化したσ(A)~にてμ:A→[0,∞]が測度の公理とμ(Π[i=1..n]E_i)=Π[i=1..n]μ_i(E_i)を満たすμが
一意的に存在する。
このμをΠ[i=1..n]Ω_i上の完備化空間での積測度といい,(Π[i=1..n]Ω_i,σ(A)~,μ)を
(Ω_i,Σ_i,μ_i)の完備化空間での積測度という。」
とがあるのですね。

ところで,完備化空間とは零集合の任意の部分集合も可測になるという性質を持つのですよね。
完備化されていないとどういう不便さが生じるのでしょうか?


>> 特にn=2の時は筒集合は半加法族でなく有限加法族となる』
> n = 2 でも有限加法族にはなりませんが, それはさておき.

そのようです。早合点してしまいました。


> 勿論, E^{x_2} は空集合になる場合もあります.

E=φの場合ですね。φは勿論,可測集合ですよね。


>> となったのですがこんな関単な証明で問題無いでしょうか?
> 任意の x_2 について E^{x_2} が μ_1 可測であることは
> それほど問題ではありません.

そうでしたか。


>> あと,μ_1(E^{x_2})がμ_2可測関数である事は,
>> ∀r∈Rに対して{x_2∈X_2;μ_1(E^{x_2})>r}∈M_2を示せという
>> 事でしょうか?
> そういうことです.

了解いたしました。


>> μ_1(E^{x_2})がμ_2可測関数である事と
>> ∫_{X_2} f(x_2)dμ_2(x)=lim[j→∞]∫_{X_2}f_j(x_2)dμ_2(x)の成立は
>> Monotone Convergence Theorem
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/mct.jpg
>> も見てみたのですがちょっと理解きませんでした。
>> どのような手順で証明してあるのでしょうか?
> (i) の E が矩形の時は良いですね. 後は,
> (ii) の E ∈ A_σ, つまり, E = ∪_{j=1}^∞ E_j で,
> E_j らが disjoint な矩形である場合に証明し,
> (iii) の E ∈ A_{σδ} の時, つまり, E = ∩_{j=1}^∞ E_j で,
> E_j ∈ A_σ, E_j ⊃ E_{j+1} の場合に証明することになります.

なぜ,単調減少列の時で議論しなればならないかは
x_2∈X_2の値(つまり,どこでEを切るか)によってE^{x_2}と∩_{j=1}^∞ E_j^{x_2}とか一致するとは限らないかでしょう
か?
もし,単調減少の時で証明できてればE_jが単調減少列ではない時は∩_{j=1}^∞ E_j =∩[i=1..∞](E_i∩E_{i+1})と書
き直すことができて,E_i∩E_{i+1}は単調減少列となるからなんでしょうか?
でもE_i∩E_{i+1}∈A_σは簡単には言えないのではないでしょうか?

でもでもEをどこで切ってもEは高々可算個可測矩形の共通部分になっているのでE^{x_2}は高々可算個のμ_1可測集合の共通部分になっているので
E^{x_2}∈M_1となる事はすぐ言えると思うのですが…。。勘違いしてますでしょうか?


> (iii) は更に (μ_1×μ_2)(E) < ∞ の場合

これはμ_1(E)μ_2(E)<∞の場合ですね。


>と一般の場合に

(μ_1×μ_2)(E) = ∞の場合という事でしょうか?

> 分かれます.

ん? E = ∩_{j=1}^∞ E_j で,E_j ∈ A_σ, E_j ⊃ E_{j+1} の場合は単調減少という条件のみしか課してません
ので,
(μ_1×μ_2)(E) < ∞の場合も(μ_1×μ_2)(E)=∞の場合も想定してあるのではないでしょうか?


>> 下記は一応訳です。
>> 『Eが可測矩形なら直ぐに全主張が成立する事に気づく。
>> 次にEをA_σの集合とする。
>> その時,我々は互いに素な可測矩形の可算和集合にEを分割する事ができる
>> (もし,E_jが互いに素でないならE_j:=∪[k=1..j]E_k＼∪[k=1..j-1]E_k)
>> と置くだけでよい)。
> 実際には E_j 自身は矩形ではなく, 矩形の disjoint な有限和
> ですけれど. E を矩形の disjoint な加算和にできるのは大丈夫
> ですね.

そうですね。A:={∪[i=1..n]E_i;E_iは互いに素な可測矩形}がAの定義ですからね。


>> 従って,各可測矩形 E_jに適用される(7)とMonotone Convergence Theoremより,
>> 各E∈A_σに対して結論を得る。

これは何の結論でしょうか?
μ_1(E^{x_2})がμ_2可測関数であることでしょうか?

> x_2 → μ_1((E_j)^{x_2}) が可測関数であれば,

この関数をf_iとすれば


>  その和も

f_1+f_2は可測ですね。以前,これは証明したことがあります。


> 可測関数で, その極限も可測関数です.

lim[i→∞]f_iも可測関数と言うことですね。


>  ∫_{X_2} μ_1((∪_{j=1}^∞ E_j)^{x_2}) dμ_2
>  = ∫_{X_2} Σ_{j=1}^∞ μ_1((E_j)^{x_2}) dμ_2

んん? これは可算加法性の事でしょうから∪_{j=1}^∞ E_jはA_σの元でE_jは互いに素という事でしょうか?
∪_{j=1}^∞ E_j∈A_σなら∪_{j=1}^∞ E_j∈A_{σδ}でもありますから,(7)について述べておられるのですね。


>  = Σ_{j=1}^∞ ∫_{X_2} μ_1((E_j)^{x_2}) dμ_2

これは∫_{X_2} Σ_{j=1}^∞ μ_1((E_j)^{x_2}) dμ_2=∫_{X_2} lim[n→∞]Σ_{j=1..n}
μ_1((E_j)^{x_2}) dμ_2で

Σ_{j=1..n} μ_1((E_j)^{x_2})が単調増加の非負可測関数だとMonotone convergence theoremが使
えて,,,

=lim[n→∞]∫_{X_2}Σ_{j=1..n} μ_1((E_j)^{x_2}) dμ_2=lim[n→∞]Σ_{j=1..n} ∫_
{X_2}Σ_{j=1..n} μ_1((E_j)^{x_2}) dμ_2
=Σ_{j=1}^∞ ∫_{X_2} μ_1((E_j)^{x_2}) dμ_2
と変形できるのですね。


>  = Σ_{j=1}^∞ (μ_1×μ_2)(E_j)

今,E_j∈AでE_j∈AならE_j∈A_{σδ}なのでここでの変形は(7)を使われたのですね
(この時点では(7)は未証明ですが)。


>  = (μ_1×μ_2)(∪_{j=1}^∞ E_j)
> ですね.

再度,可算加法性ですね。つまり,(7)とMonotone Convergence theoremを使って,
μ_1(E^{x_2}) (ただし,E∈A_{σδ})がμ_2可測である事を証明なさったのでしょうか?
μ_1(E^{x_2}) (ただし,E∈A_{σδ})がμ_2可測である事は
∀a∈Rに対して{x_2∈X_2;μ_1(E^{x_2})>a}∈M_2を言わねばならないのではないでしょうか?

どうして∫_{X_2} μ_1((∪_{j=1}^∞ E_j)^{x_2}) dμ_2= (μ_1×μ_2)(∪_{j=1}^∞ E_j)と変
形できることが
μ_1(E^{x_2}) (ただし,E∈A_{σδ})がμ_2可測である事を示したことになるのでしょうか?


すいません。ここから先はちょっと混乱しております。