工繊大の塚本です.

In article <67ab9613-bc15-429c-a546-e033300ea092@n21g2000vba.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 正訳とも読み返してみて漸くあらすじがわかりました。
> 
> E∈Aの時で, E^{x_2}がμ_1可測、μ_1(E^{x_2})がμ_2可測,
> ∫_{X_2} f(x_2)dμ_2(x)=lim[j→∞]∫_{X_2}f_j(x_2)dμ_2(x)を示し,

最初は E が唯一つの矩形の場合です.

> E∈A_σの時で, E^{x_2}がμ_1可測、μ_1(E^{x_2})がμ_2可測,
> ∫_{X_2} f(x_2)dμ_2(x)=lim[j→∞]∫_{X_2}f_j(x_2)dμ_2(x)を示し,

こちらに E が有限個の disjoint な矩形の和の場合も含まれている
と考える方が分かり易い.

> E∈A_{σδ}で(μ_1×μ_2)(E)<∞の時で,
> E^{x_2}がμ_1可測、μ_1(E^{x_2})がμ_2可測,
> ∫_{X_2} f(x_2)dμ_2(x)=lim[j→∞]∫_{X_2}f_j(x_2)dμ_2(x)を示し,
> E∈A_{σδ}で(μ_1×μ_2)(E)=∞の時で,
> E^{x_2}がμ_1可測、μ_1(E^{x_2})がμ_2可測,
> ∫_{X_2} f(x_2)dμ_2(x)=lim[j→∞]∫_{X_2}f_j(x_2)dμ_2(x)を示す。
> 
> という流れだったのですね。

ほぼそうですが, 既に注意したように, E ∈ A_{σδ}, E = ∩_{n=1}^∞ E_n
の時は, (μ_1×μ_2)(E_1) < ∞の時に先ず証明します.

> 随所にμ_1(E^{x_2})がμ_2可測ある事を示すのに
> 「f_nが可測関数ならlim[n→∞]f_n∈[-∞,∞]も可測関数」

これはもう当然でしょう.

> E∈A_{σδ}で(μ_1×μ_2)(E)<∞の時では,
> ∫_{X_2} f(x_2)dμ_2(x)=lim[j→∞]∫_{X_2}f_j(x_2)dμ_2(x)を示すのに
> Monotone convergence theoremの系
> 「f_n↓fなら,∫_X fdμ=lim[j→∞]∫_X fdμ」を使いました。

その「系」は無条件で成り立ちますか?

  f_n = 1/n on R, f = 0 on R のとき,
  ∫_R f dx = lim_{n→∞} ∫_R f_n dx = ∞

となりますか?

> でもDominated convergence theoremを使いませんでしたが
> どこで使用するべきなのでしょうか?

既に説明しました.

> 一応,自分の言葉で証明してみました(読みづらいと思いますが)。
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/prop3_1_first.jpg
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/prop3_1_second.jpg
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/prop3_1_third.jpg
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/prop3_1_fourth.jpg

基本的に fj.sci.math に質問が投稿されていれば, それを
後で読む人にも参考になるだろうと思うので, それに回答
しようと思うのですが, Web に置かれているものについては
系統的に参照する方法もないと思うので. 余り取り上げよう
とは思わないのです. しかし, 行きがかり上, 一言二言
申し上げますと,

 E = ∪_{i=1}^n E_i, E_i = E_{i,1}×E_{i,2} らは disjoint
の場合に,

  E^{x_2} = ∪_{i=1}^n E_{i,1}  if x_2 ∈ ∪_{i=1}^n E_{i,2}
          = φ                  otherwise

というのは全く誤りです.

  μ_1(E^{x_2}) = μ_1(∪_{i=1}^n E_{i,1}) χ_{∪_{i=1}^n E_{i,2}}

ではありませんし,

  μ_1(∪_{i=1}^n E_{i,1}) μ_2(∪_{i=1}^n E_{i,2})
  = μ_1(E^{x_2}) μ_2(E^{x_1})
  = (μ_1×μ_2)(E)

というのも, 等号一つ一つが誤りです.

 E ∈ A_σ を E = ∪_{i=1}^∞ E_i, E_i = E_{i,1}×E_{i,2} らは disjoint
とした時に,

  Σ_{i=1}^∞ μ_1(E_{i,1}) μ_2(E_{i,2})
  = μ_1(∪_{i=1}^∞ E_{i,1}) μ_2(∪_{i=1}^∞ E_{i,2})
  = μ_1(E^{x_2}) μ_2(E^{x_1})
  = (μ_1×μ_2)(E)

とするのも, 等号一つ一つが誤りです. そもそも

  Σ_{i=1}^∞ (μ_1×μ_2)(E_i)
  = (μ_1×μ_2)(∪_{i=1}^∞ E_i)
  = (μ_1×μ_2)(E)

というだけのところです.

積集合での矩形の和についてのイメージが正しく得られていない,
記号の持つ意味についての理解が不足している, ように思われます.
今一度ご確認下さい.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp