工繊大の塚本です.

In article <13bcd26a-6f16-4fed-818e-2267d4e60178@q1g2000vbn.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <090222165907.M0100497@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > その「系」は無条件で成り立ちますか?
> 
> f_n↓fなら,0≦f_1-f_nは単調増加で収束します。よってMCTより
> lim_{n→∞}∫(f_1-f_n)=∫lim_{n→∞}(f_1-f_n)で
> lim_{n→∞}(∫f_1-∫f_n)=∫lim_{n→∞}f_1-lim_{n→∞}f_n
> lim_{n→∞}∫f_1-lim_{n→∞}∫f_n=∫lim_{n→∞}f_1-lim_{n→∞}f_n
> ∫f_1-lim_{n→∞}∫f_n=∫f_1-lim_{n→∞}f_n
> lim_{n→∞}∫f_n=∫lim_{n→∞}f_n
> で成立すると思います。

  ∫f_1-lim_{n→∞}∫f_n=∫f_1-lim_{n→∞}f_n

から

  lim_{n→∞}∫f_n=∫lim_{n→∞}f_n

が導けるのは ∫f_1 < ∞ のときだけです.

> >  f_n = 1/n on R, f = 0 on R のとき,
> >  ∫_R f dx = lim_{n→∞} ∫_R f_n dx = ∞
> > となりますか?
> 
> f_nはf_n(x)=x/nという関数でしょうか?これはf_n∈L^1ではないので
> MTCは使えないのではないでしょうか?

 f_n ↑ f のとき ∫_R f dx = lim_{n→∞} ∫_R f_n dx
は f_n が L^1 であるかどうかに関わらず成立します.
# ∞ = ∞ であるにせよ.

一方, 貴方の言う「系」は f_1 が可積分でなければ成立しません.

 0 ≦ f_n ≦ f_1 で f_1 ∈ L^1 のとき,
 ∫_R lim_{n→∞} f_n dx = lim_{n→∞} ∫_R f_n dx
となることが, dominated convergence theorem で,
それを使っているでしょう, というのが私の comment でした.
つまり, E = ∩_{n=1}^∞ E_n の E_1 について
 (μ_1×μ_2)(E_1) < ∞, という条件は使われています.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp