chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) wrote in message news:<040527000005.M01473721@ims.kit.ac.jp>...
> 
> そういう実数値関数でないものの「微分」を定義もなしに導入する
> とは高木貞治もエムシラ……もとい, 初学者が混乱しないようにか,
> 混乱しても構わないとしてか, 曖昧な書き進め方をした責めはある
> だろうと思います.


βακαμων！

ソチは、議論の成り行きが「さっぱりワカットラン」な。ヽ(＾。＾)ノ


dy:＝f'(x)・△x と定義したのは Cauchy だ。

高木貞治は『解析概論』に、この Cauchy の「定義」を“取り入れた”
わけだが、余は「Cauchy 流のこの「(微分の)定義」は、微分の本性を
捉えてないという意味で、ill-defined なものであり、この「定義」
では、d^2y＝f''(x)dx^2 などは導くことができない」ことを論証して
いるのだ。

> 
> (有限次元)ベクトル空間 V, E に対して, V の開集合 U 上定義
> された E に値を取る関数 F: U → E についての解析学から始め
> るなら, V から E への線形写像全体を L(V, E) で表すことに
> すると,
> 
>   F: U → E
> 
> の微分 dF は(存在するとすれば)
> 
>   dF: U → L(V, E)
> 
> として定まりますが, その微分 d(dF) は, L(V, E) がベクトル
> 空間ですから, 同じように(存在するとすれば)
> 
>   d(dF): U → L(V, L(V, E))
> 
> として定まり, 更に高階のものを考えるのも同様です.
> 
> 無論, これだけでは不十分で, L(V, L(V, E)) が V×V から E へ
> の双線形写像の全体 BL(V×V, E) と同型であり, 又, V と V との
> テンソル積 V（×）V から E への線形写像の全体 L(V（×）V, E)
> とも同型であり, 又, V（×）V の双対空間 (V（×）V)^* と E との
> テンソル積 (V（×）V)^*（×）E, 或いは V^*（×）V^*（×）E と
> 同型であるというのも押さえておかなければなりません.
> 
> 又, d(dF) が連続であるとかの良い性質を持てば, 対称な双線形写像
> に値を取ることなども必要でしょう.
> 
> このような設定の下で, 実数値の関数 f と ベクトル値の関数 F と
> のスカラー倍 f F の微分 d(f F) が df（×）F + f dF になる
> ことを証明し, 定ベクトル値関数 C の微分が 0 になることを示せば
> 実数上の実数値関数 f についての
> 
>   d(df) = d(f' dx) = df'（×）dx + d(dx) = f'' dx（×）dx
> 
> は自然と得られます. もっと高階のものについても同様.


“藪医者の薬味箪笥”のように、仰山そんなものを持ち出さなくとも、
dy や dx を「適切に」定義して、「適切に」扱いさえすれば、
d^2y＝f''(x)dx^2 などは、簡単に導ける。

　# Simpler the better they say,  ヽ(＾。＾)ノ