ご回答大変有難うございます。

>> 写像gはA×Bのある部分集合A'_g×B'_gとみなす事はができますよね
>> (A'_gの各元に対してB'_gの元が唯一つ決まっているので)。
> 出来ません.
>  A の部分集合 A'_g から B の部分集合 B'_g への
> 写像 g: A'_g → B'_g を定めるのは graph g であって,
>  A'_g × B'_g ではありません.

え〜!?
例えば A:={1,2,3,4,5}, B:={6,7,8,9,10}とする時
対応f:A→Bをf(1):=3,f(3):=7,f(5):=8と定めると
A×B⊃{(1,8),(3.7),(5,8)}:=C
という部分直積集合は写像f|_Cを定めていると言えますが
{(1,8),(3.7),(5,8)}≠{1,3,5}×{7,8}なので
A'×B'(但し,A'⊂A, B'⊂B)なるA×Bの部分集合が写像を定めているとは到底言えませんね。

つまり,C⊂A×B⇒∃A'⊂A,B'⊂B;C=A'×B'は一般的に成立たないのですね。
直積集合恐るべしです。

>> それでS'∋g,h:全単射 に対してg∪hは
> もともと g ∪ h などというものが一般的に定まっている
> わけではありませんが, g, h が比較可能で,
>  g ≦ h のとき g ∪ h = h,
>  h ≦ g のとき g ∪ h = g とする,
> と定義することは可能でしょう.

はい。

>> 今,g≦hかg≧hなのでgraph(g)⊂graph(h)かgraph(g)⊃graph(h)の
>> どちらかになりますよね(∵S'はchain)。
>> よってg∪h=hかg∪h=gが成立ちますよね(つまりどちらかに吸収される)。
> そう定義するなら, S' の二つの元 g, h についてはそうです.

そうですね。

>> 従って (A×B⊃)∪_{g∈S'}g は写像になると思うのですが
>> やはり勘違いしてますでしょうか?
> 任意個数の集合についての写像の ∪ については
> 何も定義されていない以上,
>  ∪_{g∈S'}g には定義が与えられていません.

そっそうですね。

>> ∪_{g∈S'}g が写像をなす事は
>> 「(a,b),(a,b')∈∪_{g∈S'}gに対して
> 写像自体は A × B の部分集合ではなく,

A×B⊃{(1,8),(3,7),(5,8)}は写像として看做せますよね?

> 写像の graph が A × B の部分集合です.

ん? {(1,8),(3,7),(5,8)}を写像と看做すとこれはgraphも表していますよね?
、、、とすると集合論上での写像とgraphとの違いとちは何なのでしょうか?

>> ∃g,h∈S';b=g(a),b'=h(a) (∵和集合の定義)とすると,
>> 今,S'はchainなのでg≦hかg≧h
>> その時,graph(g)⊂graph(h)かgraph(g)⊃graph(h)なので
>> b,b'∈graph(h)かb,b'∈graph(g),
>  B の点が graph の点であるわけではありません.

これはその通りですね。

>> 更に(S'⊂)Sは全単射の集合,  故にb=b'が成立せねばならない。 」
>> というのは∪_{g∈S'}gが写像であるという証明にはなっていないのでしょうか?
> ここでは, その写像の graph の「候補」である,
>  ∪_{g∈S'} graph g について議論するのでなければ,
> 意味のある証明にはなりません.

ふーむ。やはり先ず∪_{g∈S'}g が写像となり,更には∪_{g∈S'}g が全単射である事が言えなければ
graph(∪_{g∈S'}g) と書いても意味不明なのですね。