ご回答たいへんありがとうございます。

>> つまり, 「Aは可算 ⇔(def) AはNに対等」 という定義なら AとBが可算「A から B
>> への単射があるか、または B から A への単射がある」 は明らかだと仰ってるのでしょうか?
> 可算であることが, N との間の全単射があることで定義されていれば,
> A と B が可算である時, A と B の間の全単射が存在するのは
> 明らかです.

そうでしたね。ここではまだ可算・不可算の定義もなされていないのでしたね。

>> 「 A の部分集合 A' と B の部分集合 B' との間の 全単射は,
>> 積集合 A×B のある部分集合 C のことだと ： 証明されます.」
：
> どうも, graph というのと, A'×B' という積集合との区別が
> 付いていないのではありませんか.

すいません。graphを調べてみたいと思います。

>> 先ず,f;f:A'→B':全単射かf:B'→A':全単射となるA'とB'の存在は A'={a},
>> B'={b}という適当な元a,bを採れば 明からにA'からB'への全単射が存在します。
> それがどうかしましたか.

すいません。

>> すいません。上記の(1),(2)を満たすCに於いて,
>> C=A'×B'なるA'×B'でないといけないのですね。
> graph が A'×B' だなんてわけがないでしょう.
> graph という概念が分かりますか.

A→Bという対応をΓとする時,A×Γ(A)というA×Bの部分集合の事を対応Γのgraphというのですよね。

>> もし上界が存在しないと仮定してみると, ∀C⊂A×Bに
>> 対して,C⊂∃D⊂A×B,,,,でこれからどうなりましょうか?
> Zorn's lemma を使った証明の例を見たことがないのでしょうね.
> 少しも自分で調べて見ないでは, 進歩しませんよ.
> 包含関係での全順序集合への上界としては, それらの和を
> 考えてみるのが常道です.

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/measure_theory/Zorn_lemma.JPG
のように何とか自力で証明を試みました。これでもいいのでしょうか?

>> そもそもこの命題は選択公理を利用して示すようなのですが
> どのように選択公理を利用すればいいのでしょうか?
> Zorn's lemma と選択公理は同値であることが知られています.
> その証明は長くて面倒です. 真っ当な集合論の教科書には
> ちゃんと書いてありますが, 専門家になるつもりがないなら,
> その証明を追う必要はないでしょう.

なるほど。ありがとうございます。
本命題Zorn's lemmaを使って証明するのですね。そしてZorn's lemma自体が選択公理を使ってるので
実質的に本命題の証明には選択公理を使ったことになるのですね。


吉田京子