工繊大の塚本です.

In article <41e8e91a-0b97-4b37-957f-1a830d2e640a@d16g2000yqb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> つまり, graph(∪_{g∈S'}g)=∪_{g∈S'}graph(g)が成立つ事を
> 示さねばならないという事でしょうか?

違います. そういう言い方自体が間違っています.

> それには
> ∪_{g∈S'}gが写像になる事、
> graph(∪_{g∈S'}g)⊂∪_{g∈S'}graph(g)、
> graph(∪_{g∈S'}g)⊃∪_{g∈S'}graph(g)の
> 3点を言えばいいのでしょうか?

違います. 
私が何回も指摘しているのは,
 ∪_{g∈S'}g は未定義であるということです.
未定義なものが写像になるかどうかを議論しても
始まりません. ましてやその graph なる集合
 graph(∪_{g∈S'}g) にも意味がない以上,
それと ∪_{g∈S'}graph(g) との比較にも意味はありません.

 S' に上界が存在することを示すことが目標ですが,
 ∪_{g∈S'}graph(g) を graph とするような写像が *あったら*
それが最小の上界となるだろうことは思い付くでしょう.
「証明」には, 先ず, ∪_{g∈S'}graph(g) が確かに
 A の部分集合から B の部分集合への全単射写像の
 graph になることを示す必要があります.
その後で, その写像に, F なり, ∪_{g∈S'}g なり,
好きな名前を付けてやれば,
 graph F = ∪_{g∈S'}graph(g) だったり,
 graph(∪_{g∈S'}g) = ∪_{g∈S'}graph(g) だったりが
成立つ事は *当たり前* です.

だから, 等式 graph(∪_{g∈S'}g) = ∪_{g∈S'}graph(g)
には ∪_{g∈S'}g を定義するための「処方箋」としての
意味しかない, と申し上げているのです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp