ご回答誠に有難うございます。

> どうも「等式」の意味, 使い方についての誤解がある
> ように思われます.

え? どういう事でしょうか?

>> ここはgraph(∪_{g∈S'}g)=∪_{g∈S'}graph(g)を言わねばなりませんね。
>  graph(∪_{g∈S'}g) = ∪_{g∈S'}graph(g) というのは
>  chain S' の上限(それを ∪_{g∈S'} g と表そうとしている
> わけですが)に対する「処方箋」を与えているものです.
> 証明すべきはその「処方箋」で確かに一つの写像が
> (しかも全単射になるようものが)定義されるということです.
> 右辺が何か写像の graph になることを認めてしまっては
> 等号であることを言うも言わぬも意味がありません.

つまり, graph(∪_{g∈S'}g)=∪_{g∈S'}graph(g)が成立つ事を示さねばならないという事でしょうか?
それには
∪_{g∈S'}gが写像になる事、
graph(∪_{g∈S'}g)⊂∪_{g∈S'}graph(g)、
graph(∪_{g∈S'}g)⊃∪_{g∈S'}graph(g)
の3点を言えばいいのでしょうか?

> だから, 「言わねばなりませんね」という言葉を見た瞬間に,
> ああ, この人は証明が出来ないな, という判断が
> 出来てしまいます.

すいません。よく理解しておりませんでした。

>> 「graph(∪_{g∈S'} g)が全単射のgraph ⇔
>> もし(a,b),(a,b')∈graph(∪_{g∈S'} g)ならb=b'…(1)
>> 且つもし(a,b),(a',b)∈graph(∪_{g∈S'} g)ならa=a'…(2)」
>> ですね。
> ここも同じことで, 全く分かっていないな, と判断されます.
> 示すべきは, ∪_{g∈S'}graph(g) が全単射写像の graph に
> なっていることで,

つまり, graph(∪_{g∈S'}g)=∪_{g∈S'}graph(g)が成立つ事を示せたら
あとは∪_{g∈S'}gが全単射である事を言えば
∪_{g∈S'}graph(g)が全単射のgraphになった事を示した事になりますよね?

>それを,
> もし (a, b), (a, b') ∈ ∪_{g∈S'}graph(g) なら b = b' と,
> もし (a, b), (a', b) ∈ ∪_{g∈S'}graph(g) なら a = a' とを
> 示すことで確認することが求められているのです.
>  graph(∪_{g∈S'}g) = ∪_{g∈S'}graph(g) と等号で結ばれている
> のであるから同じこと, と思ったら大きな間違いです.
> この違いが分からなければ, 結局, 数学的な証明にならない
> 無意味な文字列を書き続けることになります.

え゛〜!?
graph(∪_{g∈S'}g)が定義される(∪_{g∈S'}gが写像となる)事、
graph(∪_{g∈S'}g) = ∪_{g∈S'}graph(g)、
∪_{g∈S'}gが全単射
を示しただけではどうしてダメなのでしょうか?