工繊大の塚本です.

In article <2a7b6884-2de4-4995-9c22-c3ceab86d053@d16g2000yqb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <100611125026.M0322224@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  ∪_{g ∈ S'} graph(g) = graph(∪_{g ∈ S'} g)
> > の ∪_{g ∈ S'} g に定義をきちんと与えましょう.
> 
> ∪_{g ∈ S'} g :={(a,b)∈A×B;∃g∈S' such that g(a)=b} です。

 ∪_{g ∈ S'} g は写像である筈です. 写像については,
どんな集合の上で定義されていて, どんな集合に値を取り,
それぞれの元の行き先がどのようにして決まるか, を
述べないと定義を与えたことにはなりません.
 {(a,b)∈A×B;∃g∈S' such that g(a)=b} では意味不明です.

ここで求められているのは, ∪_{g ∈ S'} graph(g) が
ある写像の graph となっていることを示すことです.
先ず, A × B の部分集合が, A のある部分集合上で定義された,
 B のある部分集合に値を取る, ある写像の graph になる為の
必要十分条件は何であるかを述べた上で,
 ∪_{g ∈ S'} graph(g) が, 実際, その条件を満足することを
示すことです.

実の所, 更に, その写像は全単射でなければなりませんから,
先ず, A × B の部分集合が, A のある部分集合上で定義された,
 B のある部分集合に値を取る, ある全単射写像の graph になる為の
必要十分条件は何であるかを述べた上で,
 ∪_{g ∈ S'} graph(g) が, 実際, その条件を満足することを
示す必要があります.

> > 更にそれが S の元であることも示しましょう.
> > その証明で S' が chain であるという条件が
> > 使われていることを確かめましょう.
> 
> 例えば、f,g∈S'ならf≦g(かf≧g)となる(∵S'は鎖なので全順序集合)。
> よってgraph(f)⊂graph(g)(かgraph(f)⊃graph(g))となる(∵≦の定義)。
> その時,f≦f∪g,つまり全単射fのグラフは全単射f∪gにのグラフに吸収された形と
> なるので

ここまでは良いとしても,

> ∪_{g ∈ S'} gも全単射となる。

これには理由が示されていません.

> 従って,∪_{g ∈ S'} g ∈S (∵Sの定義)
> となるのですね。

貴方の議論は論理的でありません.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp