工繊大の塚本です.

 ∪_{g ∈ S'} graph(g) がある写像の graph になることを
言おうとしているときに, その写像に ∪_{g ∈ S'} g という名前を
先に与えるのは良くないと思いますが, それはさておき,

In article <c8fc7898-c4cd-4d1d-92b7-7bce3817e690@i31g2000yqm.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> proj_A(∪_{g∈S'}graph(g))が定義域で
> proj_B(∪_{g∈S'}graph(g))が値域です。
> 
> 従って,proj_A(∪_{g∈S'}gの定義は

 ∪_{g∈S'} g の定義ですか.
 a ∈ proj_A(∪_{g∈S'} graph(g)) のとき,
 proj_A(∪_{g∈S'} graph(g)) = ∪_{g∈S'} proj_A(graph(g)) ですから,

> ∀a∈proj_A(∪_{g∈S'}graph(g))に対して,∃g∈S';a∈dom(g)
> (∵もし∀g∈S',aはdom(g)に含まれないとすると
> 即ち(a,g(a))は∪_{g∈S'}graph(g)に含まれないとすると
> (∵graphの定義),それでaはproj_A(∪_{g∈S'}graph(g))に含まれない。
> 従ってこれはa∈proj_A(∪_{g∈S'}graph(g))に矛盾)

 a ∈ proj_A(graph(g)) となる g ∈ S' があるというのは良い.
このとき, a ∈ dom(g) ですが, 他にも a ∈ dom(h) となる
 h ∈ S' があったとして, g(a) = h(a) を示す必要がある.

> 更にたとえ∃g,h∈S';a∈dom(g),a∈dom(h)であってもg(a)=h(a)
> (∵今S'は全順序なのでg≦hかg≧h,即ちgraph(g)⊂graph(h)かgraph(g)⊃graph(h)
> 従って{∪_{g∈S'}g)(a)}は単集合),

ここで, S' が chain であることを使っていることを明確に
しておくことが肝要です.

> で一応,写した先が1つの元になっているのでこれで写像の定義としてみたいのですが
> これは苦し紛れですね。

いや当然のことです.
 
> それとも∪_{g∈S'}(g):=∪_{g∈S'}graph(g)と強引に定義してみたりしたのですが,,,

それは何も主張したことにならない虚の記号操作です.

> In article <100701194043.M0323768@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > ここで求められているのは, ∪_{g ∈ S'} graph(g) が
> > ある写像の graph となっていることを示すことです.
> 
> つまり,∪_{g∈S'}gのgraphになっている事ですよね。

 A × B の部分集合 C が写像の graph になるとは,
 (a, b) ∈ C, (a, b') ∈ C であれば, b = b' である,
ということです.
 
> > 先ず, A × B の部分集合が, A のある部分集合上で定義された,
> >  B のある部分集合に値を取る, ある写像の graph になる為の
> > 必要十分条件は何であるかを述べた上で,
> 
> fをA'⊂AからB'⊂Bへの写像とするとf=graph(f)が必要十分条件だと思います。

それも意味のない言葉の羅列ですね.

> >  ∪_{g ∈ S'} graph(g) が, 実際, その条件を満足することを
> > 示すことです.
> 
> うーんと,
> ∪_{g∈S'}graph(g)=∪_{g∈S'}(g) (∵∪_{g∈S'}(g):=∪_{g∈S'}graph(g))
> =graph(∪_{g∈S'}g) (∵∪_{g∈S'}gは写像より)
> とかしてみたのですが。。。

記号を並べただけでは意味のある主張にはなりません.

> > 実の所, 更に, その写像は全単射でなければなりませんから,
> > 先ず, A × B の部分集合が, A のある部分集合上で定義された,
> >  B のある部分集合に値を取る, ある全単射写像の graph になる為の
> > 必要十分条件は何であるかを述べた上で,
> > ∪_{g ∈ S'} graph(g) が, 実際, その条件を満足することを
> > 示す必要があります.
> 
> A×B⊃A'×B'においてMap(A',B')∋f:全単射
> \xE2^G^T
> ∀a∈proj_A(graph(f)),∃!f(a)∈proj_B(graph(g))ですかね。

 (a, b) ∈ C, (a, b') ∈ C であれば, b = b' である,
に加えて,
 (a, b) ∈ C, (a', b) ∈ C であれば, a = a' である,
ことが必要十分条件になります.

> > > ∪_{g ∈ S'} gも全単射となる。
> > これには理由が示されていません.
> 
> 常に全単射のgraphに吸収され続けるのでその極限のgraph
> 全単射かなあと思ったのですが
> 論理的にはどのように示せばいいのかわかりませんでした。

上の必要十分条件を用いて, 論理的に示すことを
試みられることをお勧めします.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp