工繊大の塚本です.

In article <62fa22e9-ed0e-4da3-abb4-206f491abd76@r27g2000yqb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 写像gはA×Bのある部分集合A'_g×B'_gとみなす事はができますよね
> (A'_gの各元に対してB'_gの元が唯一つ決まっているので)。

出来ません.
 A の部分集合 A'_g から B の部分集合 B'_g への
写像 g: A'_g → B'_g を定めるのは graph g であって,
 A'_g × B'_g ではありません.

> それでS'∋g,h:全単射 に対してg∪hは

もともと g ∪ h などというものが一般的に定まっている
わけではありませんが, g, h が比較可能で,
 g ≦ h のとき g ∪ h = h,
 h ≦ g のとき g ∪ h = g とする,
と定義することは可能でしょう.

> 今,g≦hかg≧hなのでgraph(g)⊂graph(h)かgraph(g)⊃graph(h)の
> どちらかになりますよね(∵S'はchain)。
> よってg∪h=hかg∪h=gが成立ちますよね(つまりどちらかに吸収される)。

そう定義するなら, S' の二つの元 g, h についてはそうです.

> 従って (A×B⊃)∪_{g∈S'}g は写像になると思うのですが
> やはり勘違いしてますでしょうか?

任意個数の集合についての写像の ∪ については
何も定義されていない以上,
 ∪_{g∈S'}g には定義が与えられていません.

> ∪_{g∈S'}g が写像をなす事は
> 「(a,b),(a,b')∈∪_{g∈S'}gに対して

写像自体は A × B の部分集合ではなく,
写像の graph が A × B の部分集合です.

> ∃g,h∈S';b=g(a),b'=h(a) (∵和集合の定義)とすると,
> 今,S'はchainなのでg≦hかg≧h
> その時,graph(g)⊂graph(h)かgraph(g)⊃graph(h)なので
> b,b'∈graph(h)かb,b'∈graph(g),

 B の点が graph の点であるわけではありません.

> 更に(S'⊂)Sは全単射の集合,  故にb=b'が成立せねばならない。 」
> というのは∪_{g∈S'}gが写像であるという証明にはなっていないのでしょうか?

ここでは, その写像の graph の「候補」である,
 ∪_{g∈S'} graph g について議論するのでなければ,
意味のある証明にはなりません.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp