Y.N. wrote:
> というと，x_1=x+Δx で x_1 は x，Δx を独立変数とする関数ってことですね。
> 
> # それなら dx_1=dx ですね(^^; > Yuzuru Hiraga さん。

いいえ。

も一度下を見てください。
> d(dy)= f''(x)Δx・dx + f'(x)・d(Δx)
> d(dy)= {f''(x)(x_1-x)-f'(x)}dx + f'(x)dx_1

第２式で dx_1 = dx とすれば、右辺は
　　{f''(x)(x_1-x)-f'(x)}dx + f'(x)dx
　　= f''(x)(x_1 - x) dx = f''(x)Δx・dx
一方、第１式で d(Δx) = 0 とすれば上と同じでしょ？

x_1 = x+Δx なんだから dx_1 = dx + d(Δx)、
つまり dx_1 = dx というのは d(Δx) = 0 と同じこと。
何も微分形にしなくても dx_1 = dx だから x_1 = x + C、
つまり Δx = C（定数）ということ。

その意味で、上の２式は内容的には同じことにすぎない。

だから今度の Δx = x_1 - x 云々の話は、悪いけど全部ナンセンスなんです。
どれが独立変数でどれが従属変数かなんてことはア・プリオリに決まるような
話ではない。高木貞治が決める（決めてる）わけでもないし、ましてや
M_SHIRAISHI が決め付けるようなことではない。

３変数があり、１つの関係式（それも線型な関係式）で結ばれているから
自由度は２、したがって２つを独立にとれば残り１つは従属になるというだけであり、
どれを独立にとるかを決めるのは（使用する）文脈です。
そして今の場合の文脈は「微分する（微分演算を行う）」です。

ここからようやく本題が始まるのですが、そこにいたる前にゴチャゴチャに
なってしまっている（だからナンセンス）。

で、M_SHIRAISHI 氏が何をやっているかと言えば：
　・勝手に「x_1, x が独立変数」と理由もなく（しかも誤って）教条的に決め付け、
　・「x_1, x の２変数に依存するから d(dy) は意味をなさない」とこれまた
　　理由もなく決め付け、
　・その一方で Δx = x_1 - x は「微分可能である」とこれまた勝手に決め付ける。
　　でその内容は何かと言えば、彼の (Δx)' は x による偏微分（つまり x_1 を
　　定数と見なしての微分）という意味づけ不能なデタラメにすぎない。
というだけのこと。
まあこれだけ揃うとゴチャゴチャをほぐすことさえ大変なのは確かだけど。