工繊大の塚本です.

In article <k0919a$r9a$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__06.pdf
> となりまして,

 Re(s) > 2 なら u^{s-1}/(\exp(u) - 1) は u = 0 で連続ではあります.
 s = 2 なら u/(\exp(u) - 1) は u = 0 で正則でもありました.
といった突っ込みはいくらでも出来るので, 一々述べません.

> 4ページ目下から8行目で2πiRes_{u=0}u^{s-1}/(exp(u)-1)から
> どのように進めばいいのでしょうか?

 \exp(u) - 1 = u g(u), g(0) = 1 となる u = 0 での正則関数
 g(u) が存在するのですから, u^{s-1}/(\exp(u) - 1)
 = u^{s-2} (1/g(u)) であり, 1/g(u) は u = 0 での正則関数です.
 1/g(u) のベキ級数展開から, u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の
ローラン級数展開は直ちに得られます. 当然, 留数も計算されます.
 
> そして,下から4行目でC_εで一周したらArg(x)は何にすればいいのでしょうか?
> もし,Q\setminusZ∋z:=m/n (但し,GCD{m,n}=1)なら,
>  Arg(x)=2nπとすればいいのでしょうか?
> でもC_εが一周するうちにArg(x)=2nπとなってしまい,
> L_εとM_εも全く交点を持たない半直線だから
> C_εは単純閉曲線になりませんよね。その場合はどうすればいいのでしょうか?

 s が整数でない場合は, 留数計算では計算出来ない
というだけの話です. だから, 整数でない場合は扱いません.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp