工繊大の塚本です.

In article <e18ad895-f712-4cca-ade7-830f0a4737fb@j11g2000yqh.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> (1-x^2/1^2)(1-x^2/2^2)=1-5x^2/4+x^4/4
> (1-x^2/1^2)(1-x^2/2^2)(1-x^2/3^2)
> =1-49x^2/36+7x^4/18-x^6/36
> (1-x^2/1^2)(1-x^2/2^2)(1-x^2/3^2)(1-x^2/4^2)
> =1-205x^2/144+91x^4/192-5x^6/96+x^8/576
> (1-x^2/1^2)(1-x^2/2^2)(1-x^2/3^2)(1-x^2/4^2)(1-x^2/5^2)
> 1-5269x^2/3600+1529x^4/2880-341x^6/4800+11x^8/2880-x^10/14400
> 鐚^Z
> 
> となっていってx^4の係数が等しくならないのですが、、、

無限積を高々 5 項の展開で近似しようというのは
虫が良すぎます. 例えば, 1000 項の展開からは
 \sum_{i=1}^1000 \sum_{j=i+1}^1000 1/(i^2 j^2)
が x^4 の係数として出てきますが, 計算すると,

3680609579456023006216009346355826928727986062470716713829018122931339\
2985120379145811931919230141499656831537446072830328776746806760750451\
2732471979715837201896630965544577519612414545964986799629207361763918\
6660798132896331827875667607987325170215336739387199121291229930286551\
3742839640561311973368329407871027622157926778345636933815449255332075\
0230740793183797820894469619563570255441892421951531812226859604675992\
5580685026052693514282368905632833416502471351087668523204965519708554\
8347397234293231974457642673711284010692619743657879316702867465028058\
4244663285196898702887681804988884037467472477928586306685678866020922\
6663205596982235660730315593858445094724931451664229323486686293501820\
9750938121427039038078828688044170885029667531080634216044500145313919\
8079124631433764507101237703384323791421387448588754241070540385368410\
6100931104210953472456746722365169208319823300630897998924882670793502\
5086467146903710803784780838642552713356184399612089480790068113271089\
3953791932965508341516962387816881659120380370073505607724665130935991\
4911265256239471942276807510719998259768862588242331365481269955660918\
5238501376262227510044911605466883790650297221407601000922765352122242\
0356467306904761926348611147254314319393171364029784053728863958733280\
75387363090551344919846923775111720222661/\
4543408186811289216000883521689120291462651875100001468924980065165501\
4068296477234249044920076312840043900785138536878590671862316803786102\
1675324801191350331259218354651250176079591022405846130833219583250935\
1481975206309264972211924024978293622654149278825534278817064321812498\
5363436774147715904846749933014012676193413208115572621537868662246011\
7371474465639518686348534766444441467787073029269335347089496726371327\
9829042234241158092981597485396380282639117051462107416732032956774856\
0700462832700780668297048512307470498814991800489681251364065047826407\
8049771282435013333579268391704685844444516738575480056891611802637898\
1467540692309468914860149775478919388465620639453963102479741594179283\
2794748452813255286078046664095766460408094895038900050151027642499242\
2627642632629297002823903122686024228236453368804263316830411765315026\
2646796170980983848713953866143207810828241396034906464403661523538542\
6024070806171595549060941729846055249944384585903478590598139542427406\
4856013925479444963350639872751194817074337692356272665759323817360662\
6375773072149349202290587633959727877221297648024999332515310725565855\
0564956795014599750642649574223990573006620811217817731388093018184205\
4208908225461083702167823082706468735418058161270639572355575601436336\
16917707939271761907259801600000000000000

となり, これと \pi^4/5! との差は大体 -0.00164361 となります.
 2000 項を取れば, 差は大体 -0.000822136 です.
少しずつ減っていくことをお確かめ下さい.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp