ご回答大変有難うございます。

>本当に理解されているとはとても思えないのですが,

これはすいませんでした。

>> =uu'-vv'+(uv'+vu'+vv')α と定義するのですね。
> α^2 + α + 1 = 0 ですから, α^2 = - α - 1 です.
> (u + vα)(u' + v'α) = (uu' - vv') + (uv' + vu' - vv')α.

すいません。有難うございます。

>> ところで,f(x)でZ_p上既約でf(x)=0の解がα,βと二つあった
>> 場合は どのように対処すればいいのでしょうか?
> α, β ∈ Z_p, α ≠ β について f(α) = 0, f(β) = 0 となるなら,

Z_p上既約なのでα,βはZ_pの元ではありません。
βはαの共役と呼ばれます。

体Z_p上既約な2次多項式で共役な元を解に持つような2次多項式って存在しないのでしょうか?

>> p=12の時,既約 p=13の時,(x-3)(x+4) p=14の時,既約
>> p=15の時,既約 p=16の時,既約
>>  p=17の時,既約 p=18の時,既約 p=19の時,(x-7)(x+8) p=20の時,既約
>> となりましたが,
> p は素数の場合だけが問題となっています. p = 12, 14, 15, 16, 18, 20
> の場合は考慮外です.

了解いたしました。
p=11の時,既約です。余り1
p=13の時,(x-3)(x+4)で可約です。
p=17の時,既約です。余り1
p=19の時,(x-7)(x+8)で可約です。
p=23の時,既約です。余り1
p=29の時,既約です。余り,1
となりましたが,,何か法則があるのでしょうか?

>> 一般のpの　場合どのようにして既約・可約を判定すればいいのでしょうか?
> だから, x^{p-2} + x^{p-1} + … + x + 1 を x^2 + x + 1 で
> 割った時の余りは何ですか.

p=31の時,可約,
p=37の時,可約,
p=41の時,既約,余り1
p=43の時,可約,
p=47の時,既約,余り1
p=51の時,既約,余りx+1
p=53の時,既約,余り1
p=57の時,既約,余りx+1
：

となりましたが。。何か法則があるのでしょうか?