工繊大の塚本です.

本当に理解されているとはとても思えないのですが,
形式的にもおかしいところだけ指摘しますと,

In article <f0f37baa-42e7-4b39-9c34-857295173e1c@r34g2000vbi.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> (u+vα)(u'+v'α):=uu'+(uv'+vu')α+vv'α^2=uu'+(uv'+vu')α+vv'(α-1)
> =uu'+(uv'+vu')α+vv'α^2=uu'+(uv'+vu')α+vv'α-vv'
> =uu'-vv'+(uv'+vu'+vv')α
> と定義するのですね。

 α^2 + α + 1 = 0 ですから, α^2 = - α - 1 です.
 (u + vα)(u' + v'α) = (uu' - vv') + (uv' + vu' - vv')α.

> ところで,f(x)でZ_p上既約でf(x)=0の解がα,βと二つあった場合は
> どのように対処すればいいのでしょうか?

 α, β ∈ Z_p, α ≠ β について f(α) = 0, f(β) = 0 となるなら,
 f(x) = (x - α)(x - β) なので, f(x) は既約ではありません.

> p=12の時,既約
> p=13の時,(x-3)(x+4)
> p=14の時,既約
> p=15の時,既約
> p=16の時,既約
> p=17の時,既約
> p=18の時,既約
> p=19の時,(x-7)(x+8)
> p=20の時,既約
> 
> となりましたが,

 p は素数の場合だけが問題となっています. p = 12, 14, 15, 16, 18, 20
の場合は考慮外です.

> 一般のpの　場合どのようにして既約・可約を判定すればいいのでしょうか?

だから, x^{p-2} + x^{p-1} + … + x + 1 を x^2 + x + 1 で
割った時の余りは何ですか.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp