工繊大の塚本です.

In article <7d35adc0-480a-4a70-aa5b-7eac81e2687b@o30g2000vbc.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> どうしてp=6,p=8,p=9,p=10の時は調べなくても分かるのでしょうか?

In article <da097273-d58d-4678-9e3a-7837efa62554@a7g2000yqk.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> (2) Let now f(x):=x^2+x+1∈Z_p[x],where p is prime.

 p が素数で, Z_p が体である場合に考えよ, という問題です.
そうでないと厄介です.

> と一応なりましたが,,,pが素数なら既約という訳でもなさそうですね。これは。。。
> これからどうすればいいのでしょうか?

そこで, 「 Hint Use the fact that (Z_p＼{0},・) is cyclic. 」
というわけです.

 p が 3 より大きい素数のときは, f(1) ≠ 0 ですから,
 Z_p の 0, 1 以外の元を a_1, a_2, ... , a_{p-2} とすると,
 x^2 + x + 1 が (x - b_1)(x - b_2) のように可約となるのは,
 x^2 + x + 1 | (x - a_1)(x - a_2)…(x - a_{p-2}) の
ときですが, (x - a_1)(x - a_2)…(x - a_{p-2})
 = x^{p-2} + x^{p-3} + … + x + 1 です.

# Z_p の 0 以外の元は x^{p-1} = 1 の解です.
# x^{p-1} - 1 = (x - 1)(x^{p-2} + x^{p-3} + … x + 1) に
# 注意します.

いつ割り切れるか, を考えた後, それぞれの場合に
 Z_p[x]/(x^2 + x + 1) がどうなるか, を考える
ことになります.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp