f(x):=x^2+x+1∈Z_p[x]の時,Z_p/(f(x))の構造を決定せよは

いつも大変お世話になっています。

(1) Let f(x):=x^2+x+1∈Q[x]. Show that Q[x]/(f) is a field and
isomorphic(as a ring) to {a+bζ∈C;a,b∈Q,ζ=e^(2πi/3)=-1/2+√3i/2}

(2) Let now f(x):=x^2+x+1∈Z_p[x],where p is prime. Determine the
structure of the ring Z_p[x]/(f) (analogously to (a)). Hint Use the
fact that (Z_p＼{0},・) is cyclic.

という問題です。

(1)はQが体だからQ[x]は単項イデアル整域(∵某命題)でf(x)はQ上既約なので(f(x))は素イデアルで(f(x))は素イデアルだから
(f(x))は極大イデアル(∵某命題)
よってQ[x]/(f(x))は体(∵某命題)。
ψ:Q[x]∋g(x)→g(ζ)∈Q[ζ]:={a+bζ∈C;a,b∈Q,ζ=e^(2πi/3)=-1/2+√3i/2}で定めればψは全射環準
同型になり,
f(x)はζの最小多項式(degf(x)≧1,ζがg(x)=0(但し,g(x)∈Q[x])の解ならζはf(x)の解でもある,f(x)はQ上既約
多項式である)なのでKer(ψ)=(f(x))(∵某命題)。
よって環準同型定理よりQ[x]/(f(x))〜Q[ζ](=ψ(Q[x]/(f(x)))
と示せました。

(2)については
Z_p/(f(x))の構造を決定せよはZ_p/(f(x))と同型なものを探せという事だと思いますが(Z_p＼{0},・)が巡回群になる事をどう
使って探せばいいのでしょうか?

吉田京子