工繊大の塚本です.

In article <21a9576a-1c03-4bd3-86ac-7c067e7013c2@e21g2000yqb.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <090414184157.M0220290@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > p が 3 より大きい素数のときは, f(1) ≠ 0 ですから,
> 
> p=2の時はx=1でもf(x)≠0,p=3の時はf(1)=3≡0,f(2)=4+2+1=7≠0.
> p=5の時はf(1)=3≠0,f(2)=7≠0,f(3)=13≠0,f(4)=21≠0ですね。
> p>3なる素数なら必ず,f(x)≠0となる事はどうすれば分かるのでしょうか?

そんなことは言っていません. p = 7 のときは
 f(2) = 0 だから, x^2 + x + 1 ≡ (x - 2)(x - 4) なのです.
 p が 3 より大きい素数なら, f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3 ≠ 0.
 x - 1 は f(x) の因子にはなりません.

> > いつ割り切れるか, を考えた後,
> 
> x^{p-1}-1はx-1,x-a_1,x-a_2,…,x-a_{p-2}で割り切れますね。

そうではなくて, いつ, x^2 + x + 1 が
 x^{p-2} + x^{p-3} + … + x + 1 を割り切るか,
を考えると, x^2 + x + 1 が可約か既約かが
分かるといっているのです.

# p が 3 より大きな素数であれば, x^2 + x + 1 は既約で
# あるか, b_1, b_2 ∈ Z_p＼{0, 1}, b_1 ≠ b_2 について,
# x^2 + x + 1 = (x - b_1)(x - b_2) になるか, の
# どちらかです.

> > それぞれの場合に
> > Z_p[x]/(x^2 + x + 1) がどうなるか, を考える
> > ことになります.
> 
> Z_p[x]/(x^2+x+1)={f(x)(x^2+x+1);f(x)∈Z_p[x]}ですよね。
> これからどのようにすればいいのでしょうか?

 x^2 + x + 1 が既約であれば, Z_p[x]/(x^2 + x + 1) は
 Z_p の二次拡大体になります. α^2 + α + 1 = 0 を満たす
元 α を考えて, { u + v α | u, v ∈ Z_p } に
自然な和・積を入れたものが体になります.
 F_{p^2} とも書く体ですね.

 x^2 + x + 1 = (x - b_1)(x - b_2)  (b_1, b_2 ∈ Z_p,
 b_1 ≠ b_2) となれば, Z_p[x]/(x^2 + x + 1) 〜 Z_p (+) Z_p です.
 [g(x)] ∈ Z_p[x]/(x^2 + x + 1) に対して,
 (g(b_1), g(b_2)) ∈ Z_p (+) Z_p を対応させれば宜しい.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp