ご回答大変有難うございます。

> p が 3 より大きい素数なら, f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3 ≠ 0.
> x - 1 は f(x) の因子にはなりません.

そうでしたね。p>3ならp|3とならないのは当然でした。

>>> いつ割り切れるか, を考えた後,
>> x^{p-1}-1はx-1,x-a_1,x-a_2,…,x-a_{p-2}で割り切れますね。
> そうではなくて, いつ, x^2 + x + 1 が
> x^{p-2} + x^{p-3} + … + x + 1 を割り切るか,
> を考えると, x^2 + x + 1 が可約か既約かが
> 分かるといっているのです.

これもそうでした。x^2 + x + 1|x^{p-2} + x^{p-3} + … + x +
1=(x-a_1)(x-a_2)…(x-a_{p-1})ですからね。

> # p が 3 より大きな素数であれば, x^2 + x + 1 は既約で
> # あるか, b_1, b_2 ∈ Z_p＼{0, 1}, b_1 ≠ b_2 について,
> # x^2 + x + 1 = (x - b_1)(x - b_2) になるか, の
> # どちらかです.

そうですね。そのようになりますね。

>>> それぞれの場合に Z_p[x]/(x^2 + x + 1) がどうなるか, を考える ことになります.
>> Z_p[x]/(x^2+x+1)={f(x)(x^2+x+1);f(x)∈Z_p[x]}ですよね。
>> これからどのようにすればいいのでしょうか?
> x^2 + x + 1 が既約であれば, Z_p[x]/(x^2 + x + 1) は
> Z_p の二次拡大体になります. α^2 + α + 1 = 0 を満たす
> 元 α を考えて, { u + v α | u, v ∈ Z_p } に
> 自然な和・積を入れたものが体になります.

ありがとうございます。和、積をそれぞれ
u+vα+u'+v'α:=(u+u')+(v+v')α
(u+vα)(u'+v'α):=uu'+(uv'+vu')α+vv'α^2=uu'+(uv'+vu')α+vv'(α-1)
=uu'+(uv'+vu')α+vv'α^2=uu'+(uv'+vu')α+vv'α-vv'
=uu'-vv'+(uv'+vu'+vv')α
と定義するのですね。
よってf(x)がZ_pで既約の時はZ_p/(f(x))〜({u+vα; u,v∈Z_p},+,・)となるのですね。
ところで,f(x)でZ_p上既約でf(x)=0の解がα,βと二つあった場合はどのように対処すればいいのでしょうか?

> x^2 + x + 1 = (x - b_1)(x - b_2)  (b_1, b_2 ∈ Z_p,
> b_1 ≠ b_2) となれば, Z_p[x]/(x^2 + x + 1) 〜 Z_p (+) Z_p です.
> [g(x)] ∈ Z_p[x]/(x^2 + x + 1) に対して,

[g(x)]=g(x)(x^2+x+1) (但し,(x^2+x+1)は単項イデアルの括弧の意味)となっているのですね。

> (g(b_1), g(b_2)) ∈ Z_p (+) Z_p を対応させれば宜しい.

ありがとうございます。

p=12の時,既約
p=13の時,(x-3)(x+4)
p=14の時,既約
p=15の時,既約
p=16の時,既約
p=17の時,既約
p=18の時,既約
p=19の時,(x-7)(x+8)
p=20の時,既約

となりましたが,一般のpの　場合どのようにして既約・可約を判定すればいいのでしょうか?