工繊大の塚本です.

In article <10b84e7d-2a0f-4f34-ae99-b61fb862c0f4@r34g2000vbi.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Z_p上既約なので

 x^2 + x + 1 が Z_p 上既約なら, Z_p[x]/(x^2 + x + 1) は
 α を α^2 + α + 1 = 0 を満たすものとして,
 Z_p + Z_p α に環としての構造を入れたものが体となり,
話はお仕舞いです.

> α,βはZ_pの元ではありません。
> βはαの共役と呼ばれます。

 Z_p + Z_p α においては x^2 + x + 1 は
 x^2 + x + 1 = (x - α)(x + α + 1) と
因数分解されますから, β = - α - 1 ですが,
 u + v α = u - v + (-v)(-α-1) = (u - v) + (-v) β
で, Z_p + Z_p α も Z_p + Z_p β も同じです.

> 体Z_p上既約な2次多項式で共役な元を解に持つような2次多項式って
> 存在しないのでしょうか?

そりゃあ, 分解体での残りの解が共役な元ですが,
ここでそれを考えることにさして意味はありません.

> p=11の時,既約です。余り1
> p=13の時,(x-3)(x+4)で可約です。
> p=17の時,既約です。余り1
> p=19の時,(x-7)(x+8)で可約です。
> p=23の時,既約です。余り1
> p=29の時,既約です。余り,1
> となりましたが,,何か法則があるのでしょうか?

だから, 既に説明したように, x^2 + x + 1 が
 x^{p-2} + x^{p-3} + … + x + 1 を割り切るときは
可約で, 割り切らないときは既約です.
 
> In article <090503232120.M0512290@cs2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > だから, x^{p-2} + x^{p-1} + … + x + 1 を x^2 + x + 1 で

失礼.

! ! だから, x^{p-2} + x^{p-3} + … + x + 1 を x^2 + x + 1 で
> > 割った時の余りは何ですか.
> 
> p=31の時,可約,
> p=37の時,可約,
> p=41の時,既約,余り1
> p=43の時,可約,
> p=47の時,既約,余り1
> p=51の時,既約,余りx+1

 51 = 3 * 17 で 51 は素数ではありません.

> p=53の時,既約,余り1
> p=57の時,既約,余りx+1

 57 = 3 * 19 で 57 は素数ではありません.

> となりましたが。。何か法則があるのでしょうか?

素数 p が 3 で割っていくつ余るときに,
 x^{p-2} + x^{p-3} + … + x + 1 は x^2 + x + 1 で
割り切れますか.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp