工繊大の塚本です.

In article <6a8462e0-5744-4e20-934b-0a6697be4720@q26g2000prq.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [命題1] U,V,WがF上の線形空間でψ:U×V→Wを双線形空間とすると,
                                                  ^^^^写像
> 線形写像Ψ:span(U×V)→Wを∀(u,v)∈U×Vに対し,
> ψ(u,v)=Ψ(u,v)と決めるとΨは一意的である(∵略)。

より正確に言えば, 双線形写像 ψ から, その式を満たす
線形写像 Ψ が, 一意的に定まる.

> [命題2] 更にT=span{(u_1 + u_2, v) - (u_1, v) - (u_2, v)  (u_1, u_2 ∈ U, v
> ∈ V)
>   (u, v_1 + v_2) - (u, v_1) - (u, v_2)  (u ∈ U, v_1, v_2 ∈ V)
>   (αu, v) - α(u, v)  (α ∈ F, u ∈ U, v ∈ V)
>   (u, αv) - α(u, v)  (α ∈ F, u ∈ U, v ∈ V) }
> に対し,T⊂KerΨならばf:U(×)V→Wを
> ∀(u,v)∈U×Vに対し,
> f(u(×)v)=Ψ(u,v)と決めるとfは線形で一意的である(∵略)。

より正確に言えば, 線形写像 Ψ: span(U×V)→W で T ⊂ KerΨ
を満たすものに対して, 線形写像 f: U(×)V→W を,
任意の a ∈ span(U×V) に対して, f([a]) = Ψ(a) によって
定めることができる. 更に, Ψ が命題1の双線形写像 ψ から
得られるものであれば, f は U(×)V→W なる線形写像の中で
 f(u(×)u) ( = Ψ((u, v)) ) = ψ(u, v) を満たす唯一つの
ものである.

> 以上を踏まえた上で
> 今,ψ:(V(+)V)×V^*→Fを
> (V(+)V)×V^*∋∀(v_1+v_2,g)→ψ(v_1+v_2,g)=g(v_1)+g(v_2)と定義すると
> ψは双線形写像をなし(∵略),
> 線形写像Ψ:span((V(+)V)×V^*)→Fを
> (V(+)V)×V^*∋∀(v_1+v_2,g)に対しては
> Ψ(v_1+v_2,g)=ψ(v_1+v_2,g)と決めると,
> Ψは一意的であり(∵命題1),
> 更にT=span{(u_1 + u_2, v) - (u_1, v) - (u_2, v)  (u_1, u_2 ,v∈V)
>   (u, v_1 + v_2) - (u, v_1) - (u, v_2)  (u , v_1, v_2 ∈ V)
>   (αu, v) - α(u, v)  (α ∈ F, u,v ∈V)
>   (u, αv) - α(u, v)  (α ∈ F, u,v∈V) }
> ⊂KerΨなので(∵証明済み),
> f:(V(+)V)(×)V^*→Fを∀(v_1+v_2,g)∈(V(+)V)×V^*に対し,
> f((v_1+v_2)(×)g)=Ψ(v_1+v_2,g)と決めるとfは線形で一意的である。
> (∵命題2)
> 従って,題意のfは線形写像である。
> 
> で宜しいでしょうか?

そういうことで宜しいかと存じます.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp