ありがとうございます。
大変参考になっています。


>> φの線形性は利用しませんでしたが線形である必要はあるのでしょうか?
>> > φ: A → W を任意の写像とするとき,
> としてある通り, φ が線形である必要はありません.
> 文は,
>> > φ は線形写像 Φ: span(A) → W を導く,
> と続いています.

そうでした。失礼いたしました。


>> ∀t∈Tを採るとt= c_1((u_1 + u_2, v) - (u_1, v) - (u_2, v)) +c_2((u, v_1 +
>> v_2) - (u, v_1) - (u, v_2)) +c_3((αu, v) - α(u, v)) +c_4 (u, αv) -
>> α(u, v)) (但しc_1,c_2,c_3,c_4∈F)となっていて
> 正確にはそれぞれの型のものがいくつかの和になります.

そうでした。
T=span{(u_1+u_2,v)-(u_1,v)-(u_2, v) (u_1,u_2∈U,v∈V),
(u,v_1+v_2)-(u,v_1)-(u,v_2) (u∈U,v_1,v_2∈V) (αu,v)-α(u,v)
(α∈F,u∈U,v∈V)
(u,αv)-α(u,v)  (α∈F,u∈U,v∈V)}
がTの定義ですから
(u_1+u_2,v)-(u_1,v)-(u_2, v),
(u,v_1+v_2)-(u,v_1)-(u,v_2),
(αu,v)-α(u,v),
(u,αv)-α(u,v),
の有限和になっている筈ですよね。
t=Σ[i=1..N]α_i((a_i+b_i,c_i)-(a_i,_c_i)-(b_i,c_i))
+Σ[i=1..N]β_i((d_i,e_i+f_i)-(d_i,_f_i)-(e_i,f_i))
+Σ[i=1..N]γ_i((αg_i,h_i)-α(g_i,_h_i))
+Σ[i=1..N]δ_i((m_i,βp_i)-β(q_i,_r_i))


>> Ψ(t)=Ψ(c_1((u_1 + u_2, v) - (u_1, v) - (u_2, v)) +c_2((u, v_1 + v_2) -
>> (u, v_1) - (u, v_2)) +c_3((αu, v) - α(u, v)) +c_4 (u, αv) - α(u, v)))
:
> ですが, 最後のものが 0 になるのは ψ の双線形性から
> 示されるわけです. 後のものも同様です.

納得です。


>>>  従って, Ψ は商ベクトル空間 span(U×V)/T から W への線形写像を 定めます.
:
> 線形写像が商空間からの写像に「落ちる」為の条件というものです.

つまり纏めると
U,V,WをF上線形空間としψ:U×V→Wを双線形写像とするとこのψにより線形写像Ψspan(U×V)→Wを∀ψ(u,v)=Ψ(u,v)と決め
ると
Ψはこのψにより一意的に定められる。
そして
T⊂KerΨで∀u(×)v∈U(×)Vをf(u(×)v)=Ψ(u,v)と定義するとこのfはT⊂KerΨという条件より写像をなし、しかも線形もな
す。


> その像が等しいものでなければ (V(+)V)(×)V^* から F への
> 線形写像とは呼ばないので, f, f':(V(+)V)(×)V^* → F が
> 線形写像だと宣言したところでそれは仮定されています.
> そういうものの「作りかた」の方が大事なのです. それが
> 可能であることは先に示したとおりです.

わかりました。これも纏めると,
[命題1] U,V,WをF上の線形空間としψ:U×V→Wを双線形写像としΨ:span(U×V)→Wを∀(u,v)∈U×V,ψ(u,v)=Ψ
(u,v)とすると
Ψはψにより一意的に定まる。
[命題2] 更にM=span(U×V)とし,
T=span{(u_1+u_2,v)-(u_1,v)-(u_2, v) (u_1,u_2∈U,v∈V),
(u,v_1+v_2)-(u,v_1)-(u,v_2) (u∈U,v_1,v_2∈V) (αu,v)-α(u,v)
(α∈F,u∈U,v∈V)
(u,αv)-α(u,v)  (α∈F,u∈U,v∈V)}
とし,T⊂KerΨならf(u(×)v):=Ψ(u,v)なる線形写像∃f:U(×)V→Wが存在する。

という事で,T⊂KerΨが
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/hoge2.jpg
と示せたのであとfがf(u(×)v):=Ψ(u,v)となっているか確認してみると
f((v+v')(×)g):=g(v)+g(v')=Ψ(v+v',g)でなければならなくて、
Ψ((v+v',g)+(u+u',h))=Ψ((v+v',g))+Ψ((u+u',h)) (∵Ψは線形)
=(g(v)+g(v'))+(h(u)+h(u'))=f((v+v')(×)g)+f((u+u')(×)h)、、、

でもΨ((v+v',g)+(u+u',h))はfで表しようがないですよね。

f((v+v')(×)g+((u+u')(×)h)=f((w+w')(×)k))と表せたとして、、
=k(w)+k(w')これから
=(g(v)+g(v'))+(h(u)+h(u'))に簡単には持っていけませんよね。

うーん、こんがらがってきました。
結局,どうすればfが線形である事が言えるのでしょうか?