工繊大の塚本と申します.

In article <2db06346-5567-4e8d-90f9-e829fdec5631@n33g2000pri.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [問] VをF上の有限次元線形空間とする。V*をVの双対空間とする。
> そして{v_1,v_2,…v_n}と{g_1,g_2,…,g_n}をそれぞれVとV*の基底とし,

基底が与えられているというのは変ですね.

> f:V(+)V(×)V*→Fをf((v+v')(×)g)=g(v)+g(v')で定義する
> ((+)は直和,(×)はテンソル積)。
> fが線形写像である事を示せ。

 f: (V(+)V)(×)V^* → F ですか. 変わった問題ですね.

先ず, f((v, v')(×)g) = g(v) + g(v') とするわけですが,
これは (V(+)V)(×)V^* の全ての元についての像を定めて
いるわけではないので, それだけでは f は「定義」されて
いません. つまり, 「 f が線形写像であることを示せ」
というのは正確ではないです. 「この式がある線形写像 f を
定めることを示せ」というのが本当です. つまり,

 「 f((v, v')(×)g) = g(v) + g(v') を満たす線形写像
    f: (V(+)V)(×)V^* → F が唯一つ存在することを示せ」

という問題でなければなりません.

> f(((v+v')(×)g)+((w+w')(×)g'))=f(((v+v')(×)g))+f(((w+w')(×)g'))
> と
> f(α((v+v')(×)g)))=αf(((v+v')(×)g)) (α∈F)
> とはどうやって示せばいいのでしょうか?

 f(((v, v')(×)g)+((w, w')(×)g')) の定義は与えられて
いないのですから, 与えなければ何も示せません.

 α((v, v')(×)g) は (v, v')(×)(αg) に
等しいのですから, 

 f(α((v, v')(×)g))
 = f((v, v')(×)(αg))
 = (αg)(v) + (αg)(v')
 = α(g(v)) + α(g(v'))
 = α(g(v) + g(v'))
 = αf((v, v')(×)g)

は示せますが, 前にも言いましたように, (V(+)V)(×)V^*
の元は (v, v')(×)g の形のものだけではありませんから,
これで線形性の半分が示されたわけでもありません.

先ず, 一般に, W を F 上のベクトル空間, A を任意の集合,
 φ: A → W を任意の写像とするとき, φ は線形写像
 Φ: span(A) → W を導く, つまり a ∈ A ⊂ span(A)
について Φ(a) = φ(a) となる線形写像が一意的に決まる
ことに注意します.

次に, 一般に U, V, W が F 上のベクトル空間, 
 ψ: U×V → W が双線形写像であれば,
 Ψ: span(U×V) → W を ψ から定まる線形写像とし,
 span(U×V) の

  (u_1 + u_2, v) - (u_1, v) - (u_2, v)  (u_1, u_2 ∈ U, v ∈ V)
  (u, v_1 + v_2) - (u, v_1) - (u, v_2)  (u ∈ U, v_1, v_2 ∈ V)
  (αu, v) - α(u, v)  (α ∈ F, u ∈ U, v ∈ V)
  (u, αv) - α(u, v)  (α ∈ F, u ∈ U, v ∈ V)

で生成される部分ベクトル空間を T とするとき,
 T は Ker Ψ に含まれます. 従って,
 Ψ は商ベクトル空間 span(U×V)/T から W への線形写像を
定めます. つまり, 線形写像 F: U(×)V → W で,
 F(u(×)v) = Ψ((u, v)) = ψ(u, v) を満たすものが
存在します.

ここで U を問題の V(+)V, V を問題の V^*, W を F とし,
 ψ((v_1, v_2), g) = g(v_1) + g(v_2) とすると,
 ψ: (V(+)V)×V^* → F は双線形写像ですから,
線形写像 f: (V(+)V)(×)V^* が存在して,
 f((v_1, v_2)(×)g) = g(v_1) + g(v_2) となっています.

これで条件を満たす線形写像 f の存在が言えました.

 (v_1, v_2)(×)g の形の元は (V(+)V)(×)V^* を生成します
から, f の一意性は明らかです.

こういった議論には V や V^* の基底は使わないものです.
貴方が問題について誤解して質問しているのでなければ,
余り良い問題であるとはいえません.

参考になりましたでしょうか.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp