遅くなりましてすいません。大変ありがとうございます。
ご回答を何度か読み返してみましたがまだ分かりません。
繰り返しになってしまうかもしれませんが私の疑問をおき聞いただけましたら幸いでございます。


取り合えず,T⊂KerΨだったので命題2でf(u(×)v):=Ψ(u,v)なる線形写像∃f:U(×)V→Wが存在する。
そこで題意で掲げられた写像f(v+v'(×)g)=g(v)+g(v')が本当にこの命題2のfになっているかが疑問だったのです。
もしかしたら題意のf(v+v'(×)g)=g(v)+g(v')で定義された写像fは非線形な写像かもしれません。
それでこの題意のfが線形かどうか"確かめ"てみたかったのです。

題意の写像fは文章を読むとf([Σ_{i=1}^n c_i ((v_i+v'_i), g_i)])に対しては定義されてませんよね。
飽くまでv+v'(×)gという形の元に対して定義されているのですよね。

それで素直にf((v+v'(×)g)+(u+u'(×)h))=f(v+v'(×)g)+f(u+u'(×)h)と
f((a(v+v'(×)g))=af((v+v'(×)g)が成立するか確かめたかったのです。
それでf([Σ_{i=1}^n c_i ((v_i+v'_i), g_i)])については像がどのようになるか(fは線形かもまだ分かっていないの
で)
は定義されてません。
それで[Σ_{i=1}^n c_i ((v_i+v'_i), g_i)]はV(+)V(×)V^*の元とという事だけは分かっているので
[Σ_{i=1}^n c_i (u_i, v_i)]=[v+v',g]なるv,v'∈V,g∈V^*が存在するはずである。
そこで初めてf([Σ_{i=1}^n c_i (u_i, v_i)])=f([v+v',g])=g(v)+g(v')と計算できる。

しかし,f((v+v'(×)g)+(u+u'(×)h))=f(v+v'(×)g)+f(u+u'(×)h)が成り立つ事の証明に頓挫してしまってい
ます。
題意のfは命題2のfという保証は無いので,
f((v+v'(×)g)+(u+u'(×)h))=f((w+w'(×)k)=k(w)+k(w')という風にしか計算できず,これから
=f(v+v'(×)g)+f(u+u'(×)h)にもっていけません。


どこを勘違いしてますでしょうか?
お手数おかけしまして誠に申し訳ありません。