ご回答大変有難うございます。

>> ところでIがイデアルならπ^-1(I)もイデアルである事は どうすれば言えるのでしょうか?
>> そしてmZを含む事とπ^-1(I)が単項イデアルである事から Iも単項イデアルで
>> ある事はどうすれば言えますでしょうか?
> 考えてみてから質問されていますか.

すいません。一応考えていはいるのですが..
「Iがイデアルならπ^-1(I)もイデアルである事」は

π:Z→Z_m:環準同型でπ(xy)∈Iなので
(∵∀x∈π^-1(I)…①,∀z∈Z…②に対しπ(x)∈I…③とπ(z)∈Z_mでI∋π(x)π(z)(∵③とIはZ_mのイデアルよりイデア
ルの定義)
=π(xz)(∵環準同型の定義))
xz∈π^-1(I),同様にzx∈π^-1(I). 従って,①,②からπ^-1(I)も(Zの)イデアル。
でいいのですね。

「mZを含む事とπ^-1(I)が単項イデアルである事から Iも単項イデアルである事」は
IをZ_mのイデアルとする。
もしI=0+mZならI=0modm∈{x∈Z;x≡0(mod m)}=(0)で
もしI⊃0+mZ,I≠0+mZならa:=∃min{x∈N;x+mZ∈I}でI=(a+mZ)と書ける
(∵もし∃bmodm∈I＼(a+mZ)…④なら∃q∈Z,∃r∈[1,a-1]…⑤;b=aq+r(∵Euclidean互除法でもしr=0なら
b=aqなのでb+mZ=aq+mZ=q(a+mZ)(但しここの括弧はただの括弧)∈(a+mZ)(但し,ここの括弧はイデアルの括弧)
これは④に矛盾)。
そこでb-aq∈r+mZと0<r<a(∵⑤)となるがこのrもaの最小性に矛盾。
よって,Iは単項イデアル。
でいいのですかね。

>> 必要性はIがZ_mの素イデアルだというのだから, にI≠Z_mでx,y∈Z_mに対し,
>> xy∈Iならx∈Iかy∈Iと書ける。 x+I,y+I∈Z_m/Iに於いて,(x+I)(y+I)=0とすると,
>> xy+I=0(∵剰余類の掛け算の定義)でxy+I=0+Iでxy=0で
> だから, Z_m/I において [x][y] = [0] ということは,
> Z_m において xy ∈ I ということです.

有難うございます。分かりました。
「IがZ_mで素イデアルならZ_m/Iは整域」
(x+I)(y+I)=0+I(但し,x,y∈{1,2,…,m-1})とするとxy+I=0+I(∵剰余環の掛け算の定義)で
xy∈0+I-I=I(∵イデアルの定義"IはZ_mの部分環")。ここでIは素イデアルというのだからx∈Iかy∈I。
x∈Iならx∈I=0+Iでx+I=0+I。同様にy∈Iならy+I=0+I。よってZ_m/Iは整域。
でいいのですね。

>> 十分性はZ/kZが整域である事から, x+I,y+I∈Z_m/Iに於いて,
>> (x+I)(y+I)=0ならx+I=0かy+I=0, つまりx=0かy=0で ここから
>> どうすればIが素イデアルである事が導けますでしょうか?
> Z_m において xy ∈ I であれば,
> Z_m/I において [x][y] = [0] ですから,
> Z_m/I が整域で,
> [x] = [0] または [y] = [0] となるのであれば,
> x ∈ I または y ∈ I です.

有難うございます。納得です。

>> 必要性は(自然な環準同型)f:Z→Z/IをZ∋∀z→f(z):=z+Iとすると,
>>  これは全射環準同型で 環同型写像∃g:{I;Kerf⊂I,IはRのイデアル}
>>　→{I;IはR/Jのイデアル} (∵R,R' が環で全射環準同型∃h:R→R'なら
>> KerhはRのイデアルで 環同型写像∃l:{J;Kerh⊂J,JはRのイデアル}→{J;JはR'のイデアル})。
> なんだか混乱しているようですが, ともあれ,
> 最初の質問の答えは, この部分をきちんと復習することですね.

何処が間違ってますでしょうか?

>> もしJがRでの極大イデアルならg(J)={0+J}でg(R)=R/Jとならねばならない
>> (∵KerfはRのイデアル。そして極大イデアルの定義)。
>>従って「Rを可換環,IをRのイデアルとする。 R/Jが体
>> ⇔{I;J⊂I,IはRのイデアル}={R,0}」より,Z_m/Iは体。
> これらもなんだか混乱しているようです.

これも何処が間違ってますでしょうか?

>> 十分性はZ_m/Iが体なら{J;I⊂J,JはZ_mのイデアル}={Z_m,0}なので
>> Iは極大イデアル(∵極大イデアルの定義)。
> これも混乱していますね. 多分分かっていないのでしょう.
> こういったところは基本ですから, きちんと復習して下さい.

これも何処が間違ってますでしょうか?

>> mが素数,(0)のみが素&極大。それ以外は非素&非極大。
>> mが合成数でgcd(a,m)=1なら(0)や(a)は非素&非極大。
>> mが合成数でgcd(a,m)≠1でaは素数なら(a)は素&極大。 mが合成数で
>> gcd(a,m)≠1でaは合成数なら(a)は素&極大。
> 間違っていますね.

すいません。これも何処が間違ってますでしょうか?