ご回答大変有難うございます。
申し遅れました
環の定義は「+に関して可換群,・に関して半群,分配法則が成り立つ」です。
イデアルの定義は「Iが環Rのイデアル⇔(def) IはRの部分環で∀r∈R,i∈Iに対してri∈I∧ir∈I」です。

> Z_7 は体ですから, 0 以外の元には逆元が存在しますので,
> イデアルが 0 以外の元を含めば, 1 も含むことになり,
> (2) とか (3) とか (5) とかは Z_7 に一致します.
> Z_7 の極大イデアル・素イデアルは (0) だけです.

なるほど。参考になります。

> Z_12 の場合も, 7, 11 には逆元がありますから,

5にも逆元がありますよね。

> (7), (11) は Z_12 になります. 従って, 素イデアル
> ではありません.

えっ?どうしてでしょうか? 今(7)=Z_12なので∀a,b∈Z_12=(7)でab∈(7)なら既にa,b∈Z_12=(7)なのでa∈(7)
or b∈(7)が言えていて,(7)は素イデアルになっていると思うのですが。。

> Z_12/(2) 〜 Z_2

ええとこれはZ_12/(2)={z+(2);z∈Z_12}でψ(0+(2))=0mod2, ψ(1+(2))=1mod2とすればψは環同型にな
るのですね。

> は体ですから,

Z_2は体ですからZ_12/(2)も体になりますね。

> (2) は極大イデアルで

(2)={0,2,…,10}で(3)や(4)や…や(11)は(2)を含めませんね。(1)=Z_12だけが(2)を含めますね。
よって(2)は極大イデアルなのですね。

> 当然素イデアルでもあります.

a,b∈Z_12でab∈(2)ならabは偶数ですからa∈(2)かb∈(2)が成り立たねばなりませんね。

> Z_12/(3) 〜 Z_3 は体ですから, (3) についても同様.

これもZ_12/(3)={z+(3);z∈Z_12}でψ(0+(3))=0mod3, ψ(1+(3))=1mod2,ψ(2+(3))
=2mod3,とすればψは環同型になるのですね。

> 一般にどうなるかが問題ですが,
> Z_m のイデアルが全て単項イデアルであることを示して
> おいて,

IをZのイデアルとすると0∈Iの時は,I=(0)と書ける,0≠a∈Iの時は(a)⊂Iと書け,∃b∈I＼(a)でもし,aが単元ならb=b・
1=b・(a・a^-1)∈(a)なので
aが単元の時はa∈Iなら(a)=I.もし aが単元でない時は,I⊃(a,b)={am+bn;m,n∈Z}となり,ここから単項イデアルに持ってい
けませんがどうすればいいのでしょうか?

> m の素因数分解から議論して下さい.

Z_mが単項イデアル環だとするとmが素数の時は(1)=Z_mで素イデアル&非極大イデアル,1<m'<mの時はm'は単元なので逆元を持ち(m')
=Z_mなので(m')は素イデアル&非極大イデアル。
そして(0)が素イデアル&極大イデアル。
mが合成数の時は,0<m'<mなる素数m'が単元になるので(m')=Z_mで(m')は素イデアル&非極大イデアル。
m'が合成数なら素イデアルにはならない(∵上記のZ_12で(6)など(∵2・3∈(6)だが2∈(6)でなく,3∈(6)でもない))、そして
Z∋∃m''≠m'は合成数;m''|m'なら(m')⊂(m'')⊂Z_m(但し,"⊂"は真の意味)なので(m')は非極大イデアル。
m''|m'なる合成数m''∈Zが存在しないなら,p|m'(但し,pは素数)で(m')⊂(p)=Z_mとなり,(m')は極大イデアルと言え
る。

という具合でよろしいでしょうか?